Hol a hiba a kvetkező bizonyításban?

A teljes indukciót ismered?

Sajnos részletekbe menően nem tudom elmagyarázni, azt az órán kell megtennie a tanárnak.

De most annyi a lényeg, hogy két lépésből áll.

1. lépés, kipróbáljuk n=1-re az összefüggést és megnézzük, hogy igaz-e.

2. lépés, feltesszük, hogy n=k-ra igaz. (Ezt nyugodtan feltehetjük, mert kipróbáltuk már egy vagy néhány esetre, amikor tényleg igaz volt)

És ezt a feltevést felhasználva mutatjuk meg, hogy n=k+1-re is igaz.

--------------

Az 1. lépést sose szabad kihagyni!

Itt azt mondja az állítás, hogy a bal oldalon az utolsó tag 1/(n-1)*n

Vagyis n=1-et helyeteesítve 1/(0*1)-et kapnánk, ami nyilván értelmetlen.

Tehát n legalább 2.

ha kiszámolojuk bal oldalt n=2-re:

1 tagból fog állni, mert az első tag:

1/1*2

és az utolsó tag:

1/[(n-1)*n] = 1/(1*2) ugyanaz.

tehát a bal oldal 1/2

A jobb oldal n=2-re:

3/2 - 1/2 = 1

A bal és jobb oldal nem egyenlő, így a teljes indukciós bizonyítás 1. lépése nem teljesül.

Így a 2.lépést nem érdemes megcsinálni.

Pl n=3-ra behelyettesítve már 2 tag van a bal oldalon:

1/(1*2) + 1/(2*3) = 1/2 + 1/6 = 3/6+1/6 = 4/6

A jobb oldal: 3/2 - 1/3 = 9/6 - 2/6 = 7/6

Tehát 3-ra se igaz.

A teljes indukciós bizonyításoknál, ha n helyére bármilyen számot írsz próbaképpen, akkor igaz állítást kell kapnod.

Általában elég 1-re vagy 2-re kipróbálni, de bármire ki lehet.