Mi sin (x) és cos (x) határértéke a végtelenben, ahol az argumentum is tart a végtelenbe (itt jelenesetben x, de lehet például 2*pi*gyökn is beleírva)?

Matematikai értelemben az első állítása hamis, mindjárt látni is fogjuk, hogy miért.

A határértékszámításhoz 1 dolgot érdemes tudni; ha egy függvény/sorozat tart egy k számhoz, akkor minden, a függvény tagjaiból képzett részsorozat is oda fog tartani. Tehát ha tudunk mondani egy részsorozatot, ami nem tart sehova, vagy két különbözőt, hogy azok máshová tartanak, akkor maga az eredeti függvény/sorozat nem fog tartani sehová (tehát nem lesz határértéke). A sin(x) és cos(x) függvények esetén nincs nehéz dolgunk; ha az 1; -1; 1; -1; ... sorozatot választjuk, akkor máris találtunk egy olyat, ami nem tart sehová. Olyanokat is meg tudunk adni, hogy például az egyik 1/2-hez tart a végtelenben, a másik -1/3-hoz, ekkor megint az van, hogy az eredeti nem tarthat sehová.

Érdekes módon megeshet, hogy egy függvénynek nincs határértéke, viszont ugyanaz az alakú sorozatnak pedig van, például a sin(pi*x) függvénynek nincs határértéke a fent említett okok miatt, ellenben a sin(pi*n) sorozatnak van határértéke, mivel a 0; 0; 0; ... sorozatról van szó, ez pedig értelemszerűen 0-hoz tart. És máris találtunk egy olyan sorozatot, amelynek van határértéke, és periodikus is. Ebből ötletet merítve könnyedén adhatunk egy olyan periodikus függvényt, melynek van határértéke, ez pedig az összes konstansfüggvény, például a

lim 1

x->végtelen

függvénynek a határértéke 1, és periodikus, ezt különösebben nem nehéz belátni.