Vékony drótból téglalap alakú keretet hajlítunk az egyik rövidebb oldala, mint tengely körül megforgatjuk. Mekkora a keret tehetetlenségi nyomatéka? A drót tömege 119g, oldalai 13cm és 21 cm.

Adjuk össze külön a 4 oldal nyomatékát.

A drót 119 g

A forgatási ponttól legtávolabb 13cm-nyi drót van a teljes 2*(13+21) = 68cm drótból.

Ennek az oldalnak a tömege

119*13/68 = 22,75g

Ennek az oldalnak a nyomatéka:

0,02275 kg * 0,21 m

A másik rövid oldal nyomtatéka 0, mert a forgástengelytől mért távolsága 0.

A hosszabbik oldalak homogének, ezért helyettesíthetőek a

tömegközéppontjukkal.

Egy oldal tömege: 119*21/68 = 36,75g

A középpont távolsága a tengelytől:10,5 cm.

Tehát az összes nyomaték:

0,02275 kg * 0,21 m + 2*0,03675 kg * 0,105 m

A tehetetlenségi nyomaték definíciója egy O pontra vonatkozóan diszkrét tömegpontok esetén ez: minden tömegpont tömegét megszorozzuk az O-tól való távolságának négyzetével, majd a kapott eredményeket összegezzük.

Rögzített tengely esetén a tengelytől mért távolságot kell venni.

Folytonos tömegeloszlás esetén az összegzés szerepét a határozott integrálás veszi át.

(Egyébként, ha valaki nem tud integrálni, akkor is jó közelítéssel megoldhatja a problémát úgy, hogy az l hosszúságú - tengelyre merőleges - drótdarabot felosztja például 10 részre, és a kis részek tömeg középpontjának a tengelytől való távolságnégyzeteit szorozza a kis darab tömegével, mintegy visszavezetve a problémát a diszkrét esetre. Minél több részre osztunk annál pontosabban közelíthetjük az elméleti értéket!)

Tegyük fel, hogy nem tudunk integrálni.

A függvénytáblázatban megtalálható az egyik végén befogott l hosszúságú, m tömegű rúd t.nyomatéka: (1/3). m.l(négyzet). Ez alapján kiszámoljuk a két - tengelyre merőleges - szakasz t.nyomatékát, majd ezek összegéhez hozzáadjuk az egyik rövidebb darab nyomatékát, amit könnyű számolni, hiszen ennek a darabnak minden pontja egyforma távolságra van (párhuzamos a forgástengellyel!) a tengelytől: nevezetesen a hosszabb oldal távolságában, tehát a rövidebb darab tömegét megszorozzuk a hosszabb oldal négyzetével! A három t.nyomatékot összeadva megkapjuk a keret keresett t.nyomatékát.

Igen, én emlékeim alapján szumma m*r képlettel számoltam, ami nem helyes.

szumma m*r^2 a jó képlet.

Ennek függvényében tehát így kell számolni:

A tehetetlenségi nyomaték a 4 oldal összege.

A két rövidebb oldalnál a nyomaték 0 illetve

"Ennek az oldalnak a tömege

119*13/68 = 22,75g

Ennek az oldalnak a nyomatéka: "

0,02275 kg * 0,21^2 m^2

Tehát ide bekerül még egy 0,21-es szorzó.

A két hosszabb oldal nyomatéka, ha a végpontja rögzített: mL^2/3

"Egy oldal tömege: 119*21/68 = 36,75g "

Nyomaték: 0,03675 kg * 0,21^2 m^2 / 3

Összesen:

0,02275 kg * 0,21^2 m^2 + 2* 0,03675 kg * 0,21^2 m^2 / 3 =

= 0,002084 km*m^2