Mi a megoldás? Egy háromszög csúcsai az A (−1; 0; 2), B (3; 7; −2), C (1; −1; 0) pontok, súlypontja S, az AB oldalhoz tartozó magasság talppontja T. Számítsa ki az ST szakasz hosszát!

Térben normálvektort sehogyan nem tudsz csinálni, lévén ha van egy egyenesed, arra ráakasztasz egy merőleges vektort, ezután megforgatod a vektort az egyenes körül, akkor mind-mind normálvektort kapsz.

Első körben számoljuk ki a súlypont koordinátáit, szerencsére ez ugyanúgy működik, mint a síkban, vagyis a háromszög pontjainak azonos helyén álló koordinátáinak számtani közepét vesszük, és ez lesz a súlypont azonos helyen lévő koordinátája, tehát a súlyvonal

első korrdinátája: (-1+3+1)/3=1

második koordinátája: (0+7+(-1))/3=3

harmadik koordinátája: (2+(-2)+0)/3=0, tehát S(1;3;0).

A talppontot az AB oldal paramterikus egyeneséből fogjuk megtudni; először írjuk fel az AB-> vektort, ami szintén úgy működik, mint síkban: (4;7;-4) lesz. Ha ennek t-szeresét hozzáadjuk az A pont koordinátáihoz, akkor az egyenesen maradunk, tehát az AB-re illeszthető egyenes pontjainak koordinátái: (-1+4t ; 0+7t ; 2-4t). A következő lépésben azt fogjuk felhasználni, hogy az CT szakasz merőleges az AB szakaszra, ráadásul a CT szakasz a C pont és az AB szakasz távolsága is, ami pedig a legrövidebb az Ab-ra illeszkedő egyenes összes pontja közül. Szóval a T pontot (-1+4t ; 0+7t ; 2-4t) alakban keressük. Írjuk fel ennek és a C pontnak a távolságát, ami szintén úgy működik, mint a síkban, tehát ez lesz a távolságuk:

|CT|=gyök[ (-2+4t)^2 + (1+7t)^2 + (2-4t)^2 ], ezeket a tanult módszerrel kibontogatjuk majd összevonunk, =gyök[ 81t^2-18t+9 ], ennek a függvénynek keressük a minimumát. Mivel a gyökvonás nem befolyásolja a minimum helyét, ezért csak az azon belüli részre koncentrálunk, tehát 81t^2-18t+9 minimuma kell, ami akár a középiskolában tanult teljes négyzetté alakítással is megoldható, de hamarabb megoldásra jutunk, hogyha deriváljuk: 162t-18, majd megnézzük, hogy ennek az értéke hol 0: t=1/9-nél, tehát a keresett T pont: (-5/9 ; 7/9 ; -24/9)

Most már adott az S és a T pont, ezek távolságát már meg tudjuk határozni.

Akárhogy nézem nekem 81t^2 + 14t + 9 jön ki és nem -18t

Hol rontottam el?

._.

Nem tudom, de a Wolframlpha szerint az enyém a helyes:

[link]