Hogyan kell 2 vektort párhuzamos és merőleges összetevőkre bontani?

Szia!

Mit lehet használni hozzá? Skaláris szorzást, vektoriális szorzást tanultál már? Ismered a merőleges vetület fogalmát? Vektorokat kivonni tudsz?

Szia!

Oké, akkor igazából a vetületet is tanultad, csak lehet hogy nem neveztétek külön így. Lehet, hogy mára kellett volna, de hátha jól jön még valakinek. Lehet, hogy hosszú a magyarázat, de próbáltam részletesebben írni, mert szerintem így könnyebben érthető, és kiderül a lényeg is, nem csak az, hogy itt a képlet, jegyezd meg.

Az első, amit érdemes meggondolni, hogy bár a vektoraid három dimenzióban vannak megadva, két vektor mindig egy síkba esik. Ha csinálsz egy V betűt a kezeden két ujjadból, akkor akárhogy is forgatod a kezed, mindig lesz egy közös sík, amibe a két ujjad beleesik.

Ez azért jó, mert így a feladatot könnyen le lehet rajzolni egy papírra. Ha ábrát tudunk rajzolni, akkor minden sokkal könnyebb. Nem kell pontosnak lennie. Ilyesmi lesz az ábránk:

[link]

Van rajta néhány fölösleges vektor, meg át kell nevezni a dolgokat, de így is jó lesz. A v_2 felel meg az "a" vektornak, és az u_1 a "c" vektornak. Az ábrán már a merőleges felbontás is be van rajzolva: a "proj u_1 v2" nevű vektor lesz az egyik komponens, és az u_2 a másik. Be is van rajzolva, hogy a kettő összege - a parallelogramma szabály szerint - a v_2 vektor, ami az "a"-nak felelt meg.

Először a "proj u_1 v2" vektor hosszát akarjuk meghatározni. Itt kell egy tétel, amit remélhetőleg a skalárszorzásnál tanultatok: a két vektor skalárszorzata úgy is megkapható, ha az egyiket levetítjük merőlegesen a másik egyenesére, majd a hosszokat összeszorozzuk. Az ábrán a v_2-t vetítjük merőlegesen az u_1 egyenesére, így kapjuk a "proj u_1 v2" vektort. Ha "proj u_1 v2" és u_1 hosszát összeszoroznánk, akkor éppen v_2 és u_1 skalárszorzatát kapnánk.

Most ahelyett, hogy ezzel a módszerrel számolnánk ki a skalárszorzatot, gondolkodjunk visszafelé: kiszámítjuk a skalárszorzatot v_2 és u_1 a koordinátáinak összeszorzásával, majd leosztunk u_1 hosszával, és megvan "proj u_1 v2" hossza.

Ezután "proj u_1 v2" meghatározása már nem nehéz, mert egy olyan vektor kell, ami u_1 irányú, de más a hossza. Ezért leosztjuk u_1-et a saját hosszával, megszorozzuk "proj u_1 v2" előbb kiszámított hosszával, és így a keresett vektort kapjuk.

Szerencsére u_2 meghatározása sokkal könnyebb. Tudjuk ugyanis, hogy

u_2 + "proj u_1 v2" = v_2

hiszen éppen ez a felbontás lényege. Ebből az egyenletből most már két vektort ismerünk, a harmadik meghatározása csak egy kivonás.

(Valószínűleg tudod, de egy vektor hosszát úgy lehet meghatározni, ha kiszámítjuk a skalárszorzatát önmagával, aztán gyököt vonunk.)