El lehet helyezni 400 pontot egy 20 cm átmérőjű zárt körlemezen úgy, hogy egymástól való távolságuk 1 cm-nél nagyobb?

Ha 20 cm az átmérő, akkor 10 a sugár, a területe 10²·π=314 cm².

Ha a pontok távolsága 1 cm-nél nagyobb, akkor minden pont körül van egy 1 cm sugarú környi szabad hely. Ennek a területe 1²·π=3,14.

A két terület aránya 100, ezért 400 pontot biztosan nem lehet elhelyezni.

Szia!

Máshogy gondolom, mint az első. Az ő okfejtése hibás, ha nem fontos, nem részletezem, miért.

Először helyezzünk el pontokat a lemez körvonalán egymástól egyenlő (legalább 1 cm) távolságra. Ezzel gyakorlatilag egy n oldalú szabályos sokszöget rajzolunk, melynek oldala legalább a=1 cm, és a köréírt kör átmérője d=20 cm.

"n" oldalú, "a" oldalhosszú szabályos sokszög köréírt körének átmérője a következőképp számítható:

d=a/sin(pí/n)

Ezt sem részletezem, ha nem fontos. Ebből "n"-t kifejezve:

n=pí/arcsin(a/d)

a=1 cm, és d=20 cm értékeket behelyettesítve n=62.81 adódik, azaz a lemez kerületén 62 pont fér el kényelmesen egymástól legalább 1 cm távolságra.

Következő lépésben menjünk egy centivel közelebb a középponthoz, és vegyünk egy 19 cm kerületű kört. Ezen helyezünk el pontokat az előző módszerrel, és ezek a 20 cm-es körön levőktől biztos legalább 1 cm távra lesznek. Jelen esetben: a=1 cm, és d=19 cm

n=pí/arcsin(a/d)=59.66, vagyis 59 pontot tudunk elhelyezni.

Így haladunk szépen tovább befelé a kör középpontja felé cm-enként.

HA d=18, n=56.5, vagyis 56 pont fér el.

HA d=17, n=53.4, vagyis 53 pont fér el.

HA d=16, n=50.2, vagyis 50 pont fér el.

HA d=15, n=47.1, vagyis 47 pont fér el.

HA d=14, n=43.9, vagyis 43 pont fér el.

HA d=13, n=40.8, vagyis 40 pont fér el.

És ha összeszámoljuk az eddigi pontokat, akkor már el is értünk a 400-hoz (pedig még bőven van hely további pontoknak!), vagyis elfér a lemezen 400 pont :)

Két megjegyzés:

1. Nem vagyok korrekt, mert a feladat szövege szerint 1 cm-nél nagyobb távolság kell, hogy legyen a pontok között, én viszont megengedtem a pontosan 1 cm távolságot, ennek kiküszöbölésére használhatjuk a körök átmérőire ezeket:

d=20 cm

d=18.999 cm

d=17.998 cm

d=16.997 cm

d=15.996 cm

d=14.995 cm

d=13.994 cm

d=12.993 cm

,de az eredményen nem fog változtatni.

2. Ha jön a kötekedés, hogy a lemez kerületén nem lehet pontot elhelyezni, akkor menjünk még beljebb egy kicsit:

d=19.999 cm

d=18.998 cm

d=17.997 cm

d=16.996 cm

d=15.995 cm

d=14.994 cm

d=13.993 cm

d=12.992 cm

Az eredményen ez sem változtat.

Ha valami nem tiszta, szólj!

Szép napotT

Hmm, mindketten rosszul csináltátok, de tatyesz járt a közelebb...

curiousgeorge09: kár, hogy nem részletezted, hogy miért rossz tatyesz megoldása, közelebb jutottál volna a megoldáshoz. Ugyanis tatyesz ott rontotta el, hogy nem kell 1 cm sugarú körlapot szabadon hagyni minden egyes pont körül, elég 0,5 cm-es sugarú is! Akkor ugyanis két pont éppen legalább 2·0,5 cm távolságra lesz egymástól.

Ha pedig ezzel a fél centivel számolunk, akkor ezen körlapok össz-területe, ahol nem lehet másik pötty, az ennyi:

400·0,5²·π = 100π

ami pontosan annyi, mint a körlemez teljes területe!

Viszont ezt az ideális állapotot nem lehet elérni, lesz még több terület is, ami leesik, ezért NEM LEHET ELHELYEZNI 400 PONTOT.

--- --- --- --- --- ---

curiousgeorge09, te ott rontottad el, hogy ha 20 centi átmérőnél 1 centivel közelebb mész a középponthoz, akkor nem 19 cm-es átmérőd lesz, hanem csak 18! Utána is nem 17, 16, 15 stb átmérők jönnek, hanem 16, 14, 12, stb. Vagyis jóval kevesebb lehetőséged van a körökre (sokszögekre), nem jutsz el 400 pontig.

--- --- --- --- --- ---

Egyébként curiousgeorge09 módszerével kb. ennyi pont jönne össze:

10

 Σ 2rπ = 110 π ≈ 345

r=1

(Plusz még 1 középen, de ez a szumma felfelé csal, szóval valójában ennél kevesebb lenne.)

Az optimális lefedést nem így, hanem szabályos háromszögekkel lehet elérni (gondolhatjátok úgy is, hogy szabályos hatszögekkel, méhsejt-szerűen, az ugyanaz). A szabályos háromszög oldalhosszúsága 1 cm (illetve annál icipicit nagyobb, de azt hagyjuk), vagyis egy háromszög területe √3/4 cm².

Kis rajzolgatással be lehet látni, hogy egy ponthoz pontosan 2 háromszöget kell felhasználni, vagyis pontonként a szükséges terület √3/2 cm². (Ha valakit érdekel, elmagyarázhatom, miért.)

A körlemez 100π cm²-es teljes területén ezért kb. 100π/(√3/2) ≈ 362 pont fér el.

A valóságban persze annál kevesebb, de biztos, hogy nem 400.

bongolonak igaza van, tényleg fél centi sugarú kis körök kellenek. Viszont a kis körök nem töltik ki teljesen a nagy kört, mert nem illeszkednek hézagmentesen.

Viszont használjuk fel curiousgeorge09 ötletét is: abból már tudjuk, hogy a körlemez kerületére 62 pont fér. Így a többi pontot egy 9,5 cm sugarú kör belsejében kell elhelyezni. A 9,5 cm-s kör területe: 9,5²π=90,25π, a 0,5 cm-s kis körök területe: 0,5²π=0,25π, a két terület aránya: 361 (tehát maximum 361 pont fér el, ha hézagmantesen lehetne kitölteni). Ha ehhez hozzáadjuk a kerületen lévő 62 pontot: 361+62=423. Ez már több, mint 400. Tehát a kérdés számomra még nyitott. Én curiousgeorge09 ötletének átgondolásával folytatnám.

Nézd mondjuk ezt az ábrát:

[link]

Az  ábrán a háromszögek felváltva vannak sötétre és világosra színezve. Válaszd ki bármelyik pontot: felette sötét, alatta világos háromszög van. A fordított irányról is könnyű belátni, hogy egy sötét háromszög csak egyetlen egy pont fölött van, a világos pedig csak egyetlen egy pont alatt. Vagyis minden ponthoz egy-egyértelműen (kölcsönösen egyértelműen) lehet két háromszöget rendelni.

#3: " Ha pedig ezzel a fél centivel számolunk, akkor ezen körlapok össz-területe, ahol nem lehet másik pötty, az ennyi:

400·0,5²·π = 100π

ami pontosan annyi, mint a körlemez teljes területe!

Viszont ezt az ideális állapotot nem lehet elérni, lesz még több terület is, ami leesik, ezért NEM LEHET ELHELYEZNI 400 PONTOT. "

A körlap szélén levő pontok nem 0,5²·π -t, hanem kb fele ennyi területet ölnek ki a nagy körből.