Hogyan oldajm ezt meg?

> Mit jelent az S_x

Az első n elem összege

> mennyi az S_16 és az S_15 különbsége?

a_16.

> Azt tudod hogy mi a számtani sorozat - segítség: két szám határozza meg az egészet

a_n=a_1+(n-1)*d. Mivel nem kényelmes ezt gépelni a_1 helyett a-t fogok csak írni.

> tudsz valamelyik számról mondani valamit?

Ha S(15) pozitív és S(16) negatív akkor a+6 negatív. Viszont ha minden a ... a+5 negatív lenne, akkor S(15) is negatív lenne. Tehát ez csak úgy lehetséges, hogy a pozitív, d negatív. Ha nem látszik, a következő pontban konkrétabban megmondjuk mennyi.

> Most írd fel az összegképletet

S_n=n*(a+a_n)/2=n*(a+a+(n-1)d)/2=n*a+n*(n-1)*d/2 tehát 15a+105d>0 a > -7d de 16*a+120d < 0 azaz a < -7.5d. Ebből tudjuk hogy a+7d>0 de a+8d<0 tehát az a ... a_8 pozitív és az a_9 és az utána jövők mind negatívok.

> és oszd el a_n -el

S_n/a_n=n*(a+a_n)/2a_n

> és próbálj valamit mondani hogy mikor csökken vagy nő az előző kérdés válaszai alapján.

S_n/a_n ? S_{n+1) / a_{n+1}

itt az a huncutság hogy tudjuk hogy a_1 .. a_8 pozitív tehát ha n=1..7 akkor az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív tehát keresztbe lehet szorozni vele és azt is tudjuk hogy n=16... akkor is mindkét oldal pozitív mert mindkét számláló és nevező negatív. Sőt, azt is tudjuk hogy ha n=9...14 akkor mindkét oldal negatív mert a számlálók pozitívak viszont a nevezők negatívak tehát ha keresztbe szorzunk mindkét nevezővel akkor az egyenlőtlenségjel kétszer fordul. 8 és 15 esetén viszont fordul a kocka mert 8-nál S_8 és S_9 pozitív viszont a_8 pozitív és a_9 negatív illetve S_15 pozitív és S_15 negatív míg a_15 és a_16 egyaránt negatív. Tehát ha pl. azt találjuk, hogy a ? az a < jel akkor n!=8,15-re ez nő míg viszont 8,15-ben csökken és viszont.

Ezért hát elég n=1-re megnézni, hogy micsoda:

1 ? (2a+d)/(a+d)

a+d ? 2a+d

0 ? a

Tehát a ? ezek szerint < . Azt találtuk hogy

S(n)/a(n) < S(n+1)/a(n+1)

ha n!=8,15 . Tehát a lehetséges maximumok ... na majd valaki rámutat hol rontottam el mert ennek nem ártott volna csökkenőbe fordulnia 8-nál :)

Nekifutok még egyszer, kicsit elbonyolítottam, szokásom :)

> Mit jelent az S_x

Az első n elem összege

> mennyi az S_16 és az S_15 különbsége?

a_16.

> Azt tudod hogy mi a számtani sorozat - segítség: két szám határozza meg az egészet

a_n=a_1+(n-1)*d. Mivel nem kényelmes ezt gépelni a_1 helyett a-t fogok csak írni.

> tudsz valamelyik számról mondani valamit?

Ha S(15) pozitív és S(16) negatív akkor a_16 negatív. Viszont ha minden a ... a_15 negatív lenne, akkor S(15) is negatív lenne. Tehát ez csak úgy lehetséges, hogy a pozitív, d negatív. Ha nem látszik, a következő pontban konkrétabban megmondjuk mennyi.

> Most írd fel az összegképletet

S_n=n*(a+a_n)/2=n*(a+a+(n-1)d)/2=n*a+n*(n-1)*d/2 tehát 15a+105d>0 azaz a + 7d > 0 de 16*a+120d < 0 azaz a + 7.5d <0 . Ebből tudjuk hogy a sorozat első nyolc tagja az pozitív de a kilencediktől már negatívok.

Ezzel készen is lennénk. Amíg pozitív számokat adunk S_n-hez addig az nőni fog. Mivel a_n csökken ezért 1/a_n nő amíg a_n pozitív. Ha két növekvő sorozatot összeszorzunk az is növekszik. Vagyis S_8/a_8 lesz a legnagyobb, az utána jövők ugye negatívok.