Hogyan kell integrálni racionális törteket? (lent)

Én f'/f alakot szoktam a törtről leválasztani, azután már csak konstans/(teljesnégyzet+szám) alakból kell egy arkusztangenst kigyúrni.

Jelen esetben:

(-69x-327)/(x^2+6x+13) -ból indulok ki.

A nevező deriváltja 2x+6. Ennek -34,5 -szeresét "csinálom" a számlálóban, azaz így írom tovább a törtet:

(-69x-327)/(x^2+6x+13) = (-69x-207-120)/(x^2+6x+13) =

= (-69x-207)/(x^2+6x+13)-120/(x^2+6x+13) =

= -34,5(2x+6)/(x^2+6x+13)-120/(x^2+6x+13)

Az első törtet le tudod integrálni, annak integrálja -34,5*ln(x^2+6x+13) +c

Jön a második tört, vigyünk ki elé -120-at, így csak ezzel kell foglalkozni: 1/(x^2+6x+13) =

Na itt behozom a teljes négyzet alakot:

= 1 / ((x+3)^2 + 4) = és elintézem egy 1/4 tört kivitelével, hogy a négyzetes tag mellett +1 álljon:

= 1/4* (1 / (1/4*(x+3)^2 + 1)) = itt a teljes négyzetbe beviszem a 4-et, ami a 2-nek a négyzete (ha nem lenne négyzetszám, durván benne maradna egy gyök):

= 1/4* (1 / ((1/2*x+3/2)^2 + 1)) =

ennek integrálja 1/4*arctg((1/2*x+3/2) * 2 +c

A végén a *2 az az x együtthatójának a reciproka, az f(ax+b) integrálási szabálya miatti szorzó.

Érthető volt? (Remélem, nem számoltam el...)