Egy számtani sorozat első húsz elemének az összege 45, az első negyven elem összege pedig 290. Határozza meg a sorozat első elemét és differenciáját. Hány 100-nál kisebb eleme van a sorozatnak?

Legyen a sorozat első eleme x, differenciája d, ekkor az első 20 tag összege (2x+(20-1)*d)*20/2=20x+190d, ez a megadottak szerint 45, tehát 20x+190d=45. Az első 40 elem összege (2x+(40-1)*d)*40/2=40x+780d, ez adottan 290, tehát 40x+780d=290. A két egyenletnek értelemszerűen egyszerre kell teljesülnie, tehát egyenletrendszerbe foglalhatjuk őket:

20x+190d=45 }

40x+780d=290 }, érdemes az első egyenletet szorozni 2-vel:

40x+380d=90 }

40x+780d=290 }, ha kivonjuk egymásból a két egyenletet, akkor x kiesik, így marad:

400d=200, erre d=0,5 a megoldás. Visszaírjuk valamelyik egyenletbe (az elsőbe):

20x+190*0,5=45, ennek a megoldása x=-2,5

Tehát a sorozat első eleme -2,5, a sorozat differenciálja 0,5.

A tanultak szerint a sorozat n-edik eleme:

a(n)=a(1)+(n-1)*d=-2,5+0,5*(n-1), ennek kell 100-nál kevesebbnek lennie, tehát

-2,5+0,5*(n-1)<100, ennek a megoldása n<206, tehát az egyenlőtlenség megoldáshalmaza n={1;2;3;...;205}, ebben a halmazban 205 szám van, tehát a sorozat 205 eleme kisebb 100-nál, az is kiderül, hogy a 206. eleme pont 100.

Ha valami nem világos, lehet kérdezni.