Egy deltoid átlóinak hossza 22 cm és 80 cm. A rövidebb álló a hosszabb átlót 1:3 arányban osztja két részre . Számítsuk ki a deltoid oldalainak hosszát és szögeit. Mekkora a deltoid területe?

1. Határozzuk meg a paralelogramma közèpvonalainak hosszát ès területèt ,ha átlóinak hossza 15 cm ès 20 cm , továbbá az átlók 30fokos szöget zárnak be egymással . Mekkorák a paralelogramma szögei ?

-------------

Itt egy ábra:

[link]

e=15cm, f=20cm

Tudni illik, hogy az átlók felezik egymást, az átlók által bezárt kisebbik szög a megadott delta=30°, míg a másik bezárt szögük gamma=180°-30°=150°

Namármost az átlók itt is háromszögekre bontják a paralelogrammát, ezt használjuk ki megint. Legyen az átlók metszéspontja O pont.

Vegyük az ABO háromszöget, melyre felírva a koszinusz-tételt, megkaphatjuk a 'b' oldalt:

b^2 = (e/2)^2 + (f/2)^2 - 2*(e/2)*(f/2)*cos(30°)

Ebben csak 'b' az ismeretlen, kiszámolod.

Az 'a' oldalhoz pepitában ugyanez az alsó háromszöggel:

a^2 = (e/2)^2 + (f/2)^2 - 2*(e/2)*(f/2)*cos(150°)

Adott a két oldal, amiknek hossza ugye megegyezik a közpvonalak hosszával, mivel azok lényegében az oldalak "eltolva középre".

A terület kiszámításához kell mondjuk az A csúcsnál lévő béta szög. Ehhez ismét felírjuk a koszinusz-tételt:

e^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(béta)

Ebben csak béta az ismeretlen, kiszámolhatod.

A terület pedig: T=a*b*sin(béta) lesz.

2.Van e olyan sokszög ,amelynek átlóinak száma pontosan

A.324

B.462 ?

---------

Egy sokszögben megtalálható átlók számára van egy képlet, érdemes megtanulni: n*(n-3)/2

Ahol 'n' az oldalak száma. Ezt egyenlővé teszed a feladatban megadott számokkal, és ha n-re egész szám jön ki, akkor van ilyen sokszög, ha nem egész, akkor nem létezik.

3.Mennyi a belső , illetve külső szögek összege abban a konvex nègyszögben , amelynek 42-vel több átlója van, mint ahány oldala ?

---------

A belső szögek összegére szintén van képlet: (n-2)*180°

Emlékeztetőül ugye az átlók száma: n*(n-3)/2

A feladatból egyenletet lehet kreálni:

n*(n-3)/2 = n+42

Ezt megoldod, megkapod az 'n' értékét vagyis az oldalak számát. Ezt behelyettesíted a belső szöges képletbe, és megkapod a belső szögek összegét.

Külső szögek összege pedig 360° minden konvex sokszög esetén.

4.Hány szimmetriatengelye van ès mekkora egy belső szöget annak a szabályos sokszögnek , amelyiknek 20 átlója van ?

----------

n*(n-3)/2 = 20

Kiszámolod az oldalak számát.

(n-2)*180° képlettel meghatározod mennyi a belső szögek összege, majd elosztod az oldalak számával(n), így kijön mekkora egy szöge.

A 6. feladat:

[link]

5. Hány oldala lehet a konvex sokszögnek ,ha az átlóinak ès oldalainak száma úgy aránylik egymáshoz ,mint 3:2 ?

----------

Átlók száma: n*(n-3)/2

Oldalak száma: n

A kettőt elosztva egymással épp 3/2 lesz az eredmény

[n*(n-3)/2]/n = 3/2

(n-3)/2 = 3/2

n-3 = 3

n = 6

Vagyis hatszögről beszélünk.

6.Jellemezzük szögei segítségével azokat a deltoidokat ,amelyek húrnègyszögeket . Hol található egy ilyen nègyszög körè írt körènek közèppontja ?

-----------

Elmondható, hogy egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha a szemközti szögeinek összege 180°. Vagyis a deltoid szemközti szögeinek összege 180° kell, hogy legyen, különben nem húrnégyszög.

A köréírható kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontjában található.

7. Egy rombusz átlóinak hossza úgy aránylik egymáshoz ,mint 2:3 , oldala gyök 52 cm . Számítsuk ki a rombusz átlóinak hosszát területèt ès szöget .

-----------

Itt egy rombusz:

[link]

Legyen a hosszabbik átló d1=3x hosszú, a rövidebbik pedig d2=2x hosszú. Az oldal a=gyök(52) adott.

Fontos tudni, hogy a rombusz átlói nem csak felezik egymást, de derékszögben(!!) teszik mindezt. Vagyis felírható a Pitagorasz-tétel. A két befogó az átlók fele lesz, az átfogó az 'a' oldal:

(3x/2)^2 + x^2 = a^2

9*x^2/4 + x^2 = gyök(52)^2

9*x^2 + 4*x^2 = 4*52

13*x^2 = 208

x^2 = 16

x = 4 (ugye lehetne megoldás -4 is, de nem lehet egy hosszúság -4 hosszú).

Tehát meg is van a két átló, az egyik ugye 2x=2*4=8cm hosszú, a másik 3x=3*4=12cm hosszú.

A rombusz hegyesszögére felírható pl a koszinusz-tétel. Nem írom fel, remélem az eddigiek alapján már megy. Így megvan a hegyesszög. A másik szögét többféleképp kiszámolhatod. A legegyszerűbb az, hogy ez a szög pont kiegészíti 180°-ra a hegyesszöget, vagyis ha 180°-ból kivonod amit előbb kiszámoltál, akkor megkapod. Másik lehetőség, ha felírod arra is a koszinusz-tételt.