Lineáris algebra - polinom felbontása valós ill. komplex számtest felett?

Tudjuk, hogy ha egy egész együtthatós polinomnak p/q gyöke, akkor q osztója a főegyütthatónak, p pedig osztója a konstans tagnak.

Ezért tehát:

q eleme {+-1}

p eleme {+-1, +-2, +-4, +-6, +-12}

p/q ezek alapján eleme {+-1, +-2, +-4, +-6, +-12} hisz 1-gyel osztjuk q-t, ami nem változtat semmit az előjelcsere se számít, hisz minden számnál ottvan mindkét előjel.

Tudjuk továbbá, hogy ha c egy gyök, akkor:

1-c osztója az együtthatók összegének

1+c osztója az együtthatók váltakozó előjelű összegének (a konstanstól indulva)

tehát:

1-c osztója 1+7+17+19+16+12=62

-> 1-c eleme {+-1, +-2, +-31, +-62}

-> c eleme {0, 2, -1, 3, -30, 32, -61, 63}

Az előző p/q halmazzal vesszük ennek a c-nek a metszetét, ami:

{-1, 2}

1+c osztója 12-16+19-17+7-1=4

-> c eleme {0, -2, 1, -3, 3, -1}

ennek a metszete az iménti halmazza üreshalmaz, tehát a polinomnak nincs valós gyöke.

Komplex gyökökre ott vannak a vieta formulák, egyszerű használni őket, olvass utána, tuti megtalálod a neten.

elszámoltam, mert:

p/q-nak eleme +-3 is

és 1-c osztója nem 62nek hanem 72nek, aminek az osztóiból kijön lehetséges közös osztónak a -2 és a -3 is és ezek valóban gyökök lesznek.

Ezt egyébként ellenőrizheted sima behelyettesítéssel, a lényeg, hogy meghatározod a 3 halmazt, majd veszed a metszetüket és így optimális esetben max 3-4 számod marad, azokat pedig manuálisan leellenőrzöd.

Ezután ki kell emelned a gyököket a polinomból (például Horner formulával), hogy megkapd a valós síkon oszthatatlan tagot, ami ebben az esetben x^2+1 lesz, ami komplex sík fölött (x-i)*(x+i), tehát megvan a maradék két komplex gyök is.