Miért van az, hogy: Ha f korlátos és 1 pont kivételével folytonos [a, b]-n, akkor f eleme R [a, b], azaz Riemann integrálható. (többi lent)?

> Szóval milyen tulajdonság/definíció miatt? azért mert egy "vonalnak nincs területe mert nincs szélessége"? vagy miért?...

Pontosan errõl van szó, kihagysz valamit belõle, aminek 0 a területe.

Egy lehetséges más megközelítés: mondjuk legyen a függvény a konstans 1, és, a [0,1), (1,0] szakaszokon folytonos, 1-ben meg mondjuk nincsen értelmezve.

Ekkor a két keletkezõ "négyzetet" le tudod fedni 2-nél tetszõlegesen kicsivel nagyobb téglalappal (pl: 2.000001 méretûvel le lehet fedni), és, bele tudsz írni 2-nél tetszõlegesen kisebb összméretû téglalapokat (pl: 1.9999 legyen az összegük).

Valamilyen szinten "természetes", hogy akkor a területe 2 legyen, a lukas alakzatnak, mi más lenne?

(annyira természetes, hogy a területnek a precíz matematikai felépítése történhet például majdnem kizárólag erre a fogalomra építkezve, hogy két alakzat közül ha az egyikkel le lehet fedni a másikat, akkor nagyobb területû)

Nem konstans függvény esetén inkább az van, amit te mondtál, elhagysz belõle egy 0 területû valamit.

Persze a hivatalos, matematikai szemléletû indoklás úgy néz ki, hogy megnézzük hogy hogyan definiáltuk a Riemann-integrált, és, végigkövetjük a definíciót hogy mit is ad.

Majdnem: a D(x) függvény 1 racionális számokon és 0 irracionális számokon, én a 1-D(x) függvényről beszéltem.

A D(x) értéke x-ben egyébként felírható egy nagyjából ártatlannak látszó kettős határértéknek:

D(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)

ebből azért elsőre senki nem vágja rá hogy ez racionális vs irracionális x-ekre lesz 1 ill 0.

Olyan függvények limeszét veszed k szerint, amelyek a k! nevezõjû számokon 1-ek, mindenhol máshol 0.

Annyira nem nehéz látni.