Ha egy 4 fős társaságból mindenki 1 emberre szavazhat, mekkora az esélye, hogy 1 fő nem kap szavazatot?

Dehogy annyi!

4·(3/4)^4

A kedvező esetek száma 4·3^4

Az össze esetek száma 4^4

Ezek hányadosa...

4-gyel azért kellett szorozni a kedvezők számát, mert bármelyik 4 lehet az, aki nem kap végül szavazatot.

Én is hülyeséget írtam, ne hallgass rám :)

Nem vettem figyelembe, hogy pontosan 1 ember kell legyen, aki nem kap szavazatot.

Mindjárt meggondolom...

Hmm, most csak ilyen ronda jut az eszembe:

Pontosan 1 kap: 4·(1/4)^4

Pontosan 4 kap: 4! / 4^4

hisz 4! féleképpen adódhat, hogy ki kinek ad, az összes esetek száma pedig 4^4

Pontosan 2 kap: ez már nehezebb (de könnyebb, mint a pontosan 3)

a) 1+3:

Ki kapjon 1-et: 4-féle

Kitől kapja: 4-féle

Ki kapjon 3-at: 3-féle

Kitől kapja: ez már csak 1-féle lehet, hisz minden maradéktól.

Tehát a kedvezők száma 4·4·3

Valószínűség: 4·4·3 / 4^4

b) 2+2:

Az első ember: 4-féle

Melyik 2 embertől kapjon: (4 alatt 2)

A második ember: 3-féle

Kitől kapjon: 1-féle (a maradék két ember)

Valószínűség: (4·3·4·3/2) / 4^4

Ezek után az, hogy pontosan 3 kapja a szavazatokat:

1 - előzőek összege = 1 - (4 + 4! + 4·4·3 + 4·3·3·2) / 4^4

= 27/64

Hmm, ez egyébként (3/4)^3

Biztos ki lehetne találni, hogy miért annyi...

#bongolo

Nem jól csináltad. Ha pontossan 1 ember nem kap szavazatott az azt jelenti, hogy pontossan 3 kapott. Ez csak abban az esetben teljesül ha valaki pontossan 2 szavazatot kap, a másik két ember pedig arra rakja a szavazatát aki még nem kapott. Ez számokkal így néz ki: 1*1*3*2 * 4! = 144, ezért az esély 144/256

4 szavazat van. Az első eshet négy emberre, a második négy emberre, a harmadik négy emberre, a negyedik, micsoda meglepetés, négy emberre. Ezek szerint van 256 összes eset.

Ha egy ember nem kap szavazatot, akkor először is szemeljünk ki egy embert akit utálunk. Ezt négyfeleképpen tehetjük meg. Ezek után szavazunk, az első szavazat eshet háromra stb... tehát ez 4*3^3=144 eset.

Tényleg 144/256, teljesen automatikus és egyszerű.

Akkor nem kap 1 fő szavazatot ha mindenki más emberre szavaz. Az első szavazatot leadják, másodiknál 3/4-ed az esély hogy ne ugyanaz kapja még egyszer, utána 1/2-ed az esély, majd a legutolsó szavazat leadásakor 1/4-ed esély van rá hogy olyan ember kapjon szavazatot aki még nem kapott.

Az eredmény 3/4*1/2*1/4=3/32

Éjszaka megálmodtam az egyszerűbb megoldásomat, mindjárt írom...

#5 jó, #6, #7 rossz.

#6-ban egyébként 4·3^3 = 108, nem pedig 144. De az igazi baj az, hogy csak hárman szavaznak benne. A 4·3^4 persze szintén nem lenne jó, abban meg nem lenne figyelembe véve, hogy PONTOSAN 3-an kell kapjanak szavazatot. (Így ebben benne van pl. az is, hogy mindenki egyetlen egyre szavaz, stb.)

#7 esetén odáig jó, hogy 1*3/4*1/2, de a negyedik nem csak 1-re szavazhat, ezért az 1/4 helyett 3/4. Viszont kell még tovább csinálni, mert nincs figyelembe véve, hogy permutálódhatnak a szavazatok.

---

Szóval #5 a jó megoldás, de leírom az enyémet is, mert más a gondolatmenet.

Az én #3 megoldásom valamiért tényleg nem jó és bonyolult is. Nem tudom, miért gondoltam azt, hogy a "pontosan 3" bonyolultabb, mint a "pontosan 2". Valójában egyszerűbb, mert csak egyetlen egy eset van: 2+1+1

- Ki ne kapjon semmit: 4 lehetőség

- Ki kapjon kettőt: 3 lehetőség

Akik maradtak, azok egyet-egyet kapnak, vagyis az 1 lehetőség, nem érdekes

- Melyik kettő adja a duplásnak: (4 alatt 2)

- A maradék kettő melyik egyesnek adja: 2 lehetőség

Tehát 4·3·(4·3/2)·2 = 144 lehetőség → 144/256

A módszer (képlet) neve SZITA.

[link]

A (jelenleg) harmadik válaszban ott a szummás formula, amelybe csak be kell helyettesíteni, és kiadja a 4->3 szürjektív szavazások számát:

> #{f: 4->3 | f szürjektív} = (3 0)*3^4 - (3 1)*2^4 + (3 2)*1^4 =

> = 1*81 - 3*16 + 3*1 = 36.

(ahol a szumma n-1-ig megy)

(ahol a (n k) képlet a binomiális együtthatót jelöli)

Ugyanezt leírtam már korábban 'bongolo' kérésére, de, érdemes lehet nem csak eseményekkel (N esemény közül K teljesül), de, mondjuk függvények számával is megfogalmazni ugyanazt.

Itt írtam róla: http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

De rákeresve arra hogy szita, vagy hogy "logikai szita" ad néhány jó magyarázatot az internet.