Lehet -e egyenlő egy változó mozgást végző test átlagsebességének es valamely pillanatban mért sebességének a nagysága?

Mindig kell, hogy legyen egy olyan pillanat, ahol a pillanatnyi sebesség az átlagsebesség nagyságával egyenlő. (Persze, ha csak a sebesség-idő grafikon folytonos az adott intervallumon, de erre legtöbbször nincs ellenpélda makroszkopikus jelenségeknél)

A Lagrange-féle középértéktételt ismered? Vagy milyen szinten kéne bizonyítani? (Könnyebben is belátható de matematikailag ez korrektebb)

Persze; ha 2g méter magasból leejtünk egy golyót, v0=0 kezdősebességgel, akkor megtett útja g/2*t^2, ezt

g/2*t^2=2g

t^2=4 -> t=2 másodperc alatt teszi meg. Ebben az esetben az átlagsebesség=megtett út/eltelt idő=2g/2=g. Az a kérdés, hogy ennek a testnek lesz-e valamelyik időpillanatban g a sebessége. A test pillanatnyi sebessége g*t, tehát g=g*t -> 1=t, tehát felveszi az átlagsebességet.

Egyébként minden esetben igaz, ahol a sebesség-idő grafikon folytonos; a Bolzano-Weierstrass-tétel értelmében, ha egy f(x) függvény folytonos az [a;b] intervallumon, akkor f(a) és f(b) között minden értéket felvesz legalább 1-szer (ez nem zárja ki azt, hogy ezeknél kisebb vagy nagyobb értéket is felvegyen). Mivel tudjuk, hogy az átlag biztosan a legnagyobb és a legkisebb érték közé esik, ezért biztos, hogy fel fogja venni az átlagot is.