Hogyan lehet megoldani a következő egyenletet?

7·2^x + 1 = y²

7·2^x = y²-1 = (y-1)(y+1)

A bal oldal prímtényezős felbontásában 7 és 2 van, a jobb oldalon is pont ezek kellenek.

a=y-1 és b=y+1 között 2 a különbség, ezért mindkettő páros kell legyen.

a) a = 7·2^n, b = 2^m (vagyis x = n+m)

a + 2 = b

7·2^n + 2 = 2^m

8·2^n - 2^n + 2 = 2^m

2^(n+2) - 2^(n-1) + 1 = 2^(m-1)

a1) m>1, a jobb oldal páros, a bal is az kell legyen.

Ez csak így lehet: 2^(n-1) = 1

vagyis n=1

2^(1+2) = 2^(m-1)

m = 4

vagyis x = n+m = 5, y = b-1 = 2^4 - 1 = 15

a2) m=1. a jobb oldal páratlan.

2^(n+2) - 2^(n-1) + 1 = 2^0

2^(n+2) = 2^(n-1)

Ennek nincs megoldása.

b) a = 2^m, b = 7·2^n

a + 2 = b

2^m + 2 = 7·2^n

2^m + 2^n + 2 = 8·2^n

2^(m-1) + 2^(n-1) + 1 = 2^(n+2)

A bal oldal biztos, hogy páratlan. A jobb oldal csak akkor tud páratlan lenni, ha n=-2:

2^(m-1) + 2^(-2-1) = 0

Ennek nincs megoldása.