Határozd meg egy derékszögű háromszög befogóinak hosszát, ha ezeknek összege 23 és a háromszög területe 60?

Akkor már tudod, hogy a befogók összege 23.

A területe meg 60.

Derékszögű háromszög esetén a terület = (a*b)/2

magyarul (x*y)=60

X helyett írjunk = (23-y)-t

A képletbe visszahelyettesítve

(23-y)*y=60

rendezed az egyenletet

23y-y^2=60

0-ra rendezel

-y^2+23y-60 = 0

Na ez meg mibe illik bele? A másodfokúba..

Azt rád bízom! :)

Terület: T = ab/2

60 = ab/2 /∙2

120 = ab

a+b = 23 ⇒ a = 23 - b, ezt visszahelyettesítjük az elsőbe:

120 = (23 - b)∙b

120 = 23b - b²

b² - 23b + 120 = 0

b₁=8 és b₂=15

a+b=23

ab=120

(a+b)^2=529

(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=529-4\cdot120=49

a-b=7

Tehát

a+b=23

a-b=7

Összeadva 2a=30, a=15

Kivonva 2b=16, b=8.

Na, milyen? Egyszer nem kellett a másodfokú képlete. :)

Minden háromszög esetén a terület=alaphossz*magasság/2.

Derékszögű háromszög esetén a magasság egyenlő az egyik befogó hosszával (legyen b).

T=a*b/2=60,

Szorozd meg mindkét oldalt 2-vel:

ab=120. 120-nak a prímtényezős felbontása (2^3)*(3)*(5).

Tudod, hogy a két befogó, a és b oldal összege, a+b=23. Ezt a számot kétfele kell elosszuk.

Ha az egyik számunk 5 lenne, a másiknak (2^3)*3=24-nek kéne lennie, ami már több mint 23, szóval itt egyenlőtlenség áll fenn (továbbiakban eáf.).

Ha az egyik számunk 3 lenne, a másik(2^3)*5=40, ergo itt is eáf.

Ha az egyik számunk 2 lenne, a másiknak (2^2)*3*5=60-nak kéne lennie, eáf.

Ha az egyik számunk 4 lenne, a másik 2*3*5=30, de itt is eáf.

Ha az egyik számunk 8 lenne, a másiknak 3*5-nek, azaz 15-nek kell lennie, 15+8 pedig =23, a feladat megoldva!