Bizonyítsuk be hogy az " x2 + y2 + 4x + 6y -19 = 0 és az x2+y2-8x-6y+17=0 egyenletű körök érintik egymást valamint adjuk meg az érintési pont koordinátáit. Valaki segítene?

Írjuk át az egyenleteket kanonikus alakra:

(x+2)^2+(y+3)^2=32

(x-4)^2+(y-3)^2=8

Ezekből kiolvasható a körök középpontjaik és a sugaraik:

1. C1(-2;-3), r=gyök(32)

2. C2(4;3), r=gyök(8)

Ha 1 pontban érintik egymást a körök, akkor két lehetőség van:

1. Az egyik kör tartalmazza a másikat, ekkor igaz, hogy L+r1=r2, ahol L a középpontok távolsága, r1 a kisebbik, r2 a nagyobbik sugár (ha lerajzolod, hamar átlátod).

A középpontok távolsága gyök((-2-4)^2+(-3-3)^2)=gyök(72)

gyök(72)>gyök(32), tehát biztos, hogy az összeg nem fog fennállni.

2. A körök egymáson kívül vannak, ekkor r1+r2=L-nek kell igaznak lennie;

gyök(8)+gyök(32)=gyök(72), használjuk a gyökvonás megfelelő azonosságát

2*gyök(2)+4*gyök(2)=6*gyök(2), ez pedig igaz. Tehát a körök 1 pontban metszik egymást.

Metszéspont meghatározása: a metszéspontról két dolgot tudunk:

1. Rajta van a C1C2 szakaszon

2. A C1 ponttól gyök(32) távolságra van

Tehát először határozzuk meg a C1C2 vektort (6;6), ennek a hossza gyök(72) lesz. Ha a vektorok koordinátáit ugyanazzal a nemnulla számmal szorozzuk, akkor iránya nem, csak hossza változik. Ebben az esetben szerencsénk van, mert ha a vektorokat 16-dal szorozzuk, akkor az (1;1) vektort kapjuk, ennek a hossza 1 egység, ezt könnyű megszorozni 4-gyel, hogy a (4;4) vektorhoz jussunk, ennek a hossza pont gyök(32) lesz. Ennek a vektornak a koordinátáit hozzáadva C1-hez az M(2;1) pontot kapjuk, ami mindkét körön rajta van. Ellenőrizni nem nehéz.

Ha valami nem érthető, várom kérdéseidet!