Sorozatok szabályát hogyan kell felírni, ha ismétlődnek a tagok? (12. osztály) köszi szépen!

Ha periodikus sorozatról van szó, akkor érdemes olyan dolgokat keresni, amikről tudjuk, hogy periodikusak (persze az első válaszoló megoldása is jó, de kinek mihez van gusztusa, és jobban szeretem, ha 1 utasítással van megadva egy sorozat).

Amit megadtál sorozatot, abban minden tagból vonjunk le 1-et, ekkor ez lesz a sorozat: 0;1;2;0;1;2..., ez pedig ismerős lehet onnan, amikor a számok 3-as maradékát vizsgáltátok. Tehát ez a sorozat megadható így is: a(n)=(n-1) 3-as maradéka +1, például a sorozat 253. tagja a(253)=252 3-as maradéka +1=0+1=1.

Másik lehetőség, hogy a periodikus függvényekből próbálunk valamit kikerekíteni. Ha a tagokból levonunk kettőt, ezt kapjuk: -1;0;1;-1;0;1;..., tudjuk, hogy a sin(x) függvény ezen értékek között mozog, ám sajnos ott ezek az értékek nem pont így követik egymást, viszont egy kis csellel rá lehet bírni ezt a függvényt, hogy bizonyos körülmények között ezek az értékeket és ilyen sorrendben produkálja; ha azt a bizonyos vektort 120°-onként, vagyis 2pí/3-mal forgatjuk, akkor a szinuszfüggvény értékeinek előjele a következőképpen alakul: 0;pozitív;negatív;0;..., tehát ha a szinuszfüggvényt beletesszük egy előjelfüggvénybe, akkor 0;1;-1;0;1;-1 értékeket fogja felvenni. Még egy kicsit csiszolunk rajta, hogy -1-gyel kezdődjön, ekkor ezt a hozzárendelést tudjuk megadni:

a(n)=sgn(sin(2pí*n/3 -4pí/3))+2

Még egy függvényt megemlítek, ami ily módon váltakozva adhat még értékeket, ez a törtrészfüggvény, de ez is csak 0 és 1 közötti értékeket vesz fel, emiatt így tudjuk megadni a tagokat:

a(n)=3*{(n-1)/3}+1, ahol {} a törtrészfüggvény. Talán ez a legtisztább hozzárendelése a sorozatnak.

Persze ezeken kívül még egy rakat módon meg lehet adni a szabályt, de kiindulásként ezeket nem árt ismerni.