ABC egyenlő szárú háromszög alapja 60 cm, magassága 40 cm. Az AB alap F felezőpontjából bocsássunk merőlegest a két szárra, ezek talppontjai D és E. Mekkora a CEFD négyszög kerülete és területe?

Készítsünk ábrát!

Vegyük észre, hogy a CAB< szög közös az ACF 3szögben és az ADF háromszögben (és mindkettő derékszögű háromszög.

Az ACF derékszögű 3-szögből kiderül, hogy ennek a szögnek (hívjuk alfának) a koszinusza 20/60, vagyis 1/3.

Ennek ismeretében 1/3=AD/20 -> AD=20/3, vagyis DC=60-20/3 = 160/3. Továbbá AD^2+DF^2=AF^2, azaz 400/9+DF^2=400. -> DF=gyök((8/9)*400)) = 40*gyök(2)/3.

Ezekből az adatokból meghatározható a kerület:

K=2*(DC+DF)= 320/3+80*gyök(2)/3.

Az alfának a koszinusza 1/3, ekkor a szinusza megkapható:

(1/3)^2+(sin(a))^2=1 -> sin(a)=gyök(8/9).

Területképlet: T(ABC)=60*40*gyök(8/9)/2 = 800*gyök(2).

Ha tizedesjegyekben kéri az adatokat, ezekből remélhetőleg össze tudod szedni. :)

Na jó, az előző kettő hozzászólásomat sztornózom, sikerült lerajzolnom úgy, hogy az AB alap volt 40cm, és nem a magasság.

Bocsánat, teljesen másik feladatot oldottam meg. :( :D

A háromszög területe 60*40/2=1200 cm^2. A magasság a háromszöget két egybevágó derékszögű háromszögre bontja, tehát azok területe 600 cm^2. A háromszög átfogóját Pitagorasz tételével számolhatjuk:

40^2+30^2=c^2, vagyis 50=c, ez megegyezik az egyenlő szárú háromszög szárával.

Mivel FD és FE merőleges az AC és BC szárakra illetve átfogókra, ezért ezek a derékszögű háromszögek átfogóihoz tartozó magasságok, tehát a területképletből számolva:

40*|FD|/2=600, vagyis |FD|=30 cm, ugyanez igaz |FE|-re is.

FDC egy újabb derékszögű háromszög, ebben is felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:

30^2+x^2=40^2, vagyis x=10*gyök(7) cm. Innen már minden adott a kerület kiszámításához: 2*(10*gyök(7)+30)=20*gyök(7)+60 cm, ezt igény szerint kerekítheted.

A területe úgy kapjuk meg, hogy az FAE és FBD derékszögű háromszögek területét kivonjuk a nagy háromszög területéből; mivel |AE|+|EC|=|AC|, és |AE|+10*gyök(7)=50, ezért |AE|=50-10*gyök(7) cm, így AEF területe 30*(50-10*gyök(7))/2, mivel 2 van belőlük, 2*, így 30*(50-10*gyök(7)) az összterületük. Tehát a deltoid területe 1200-30*(50-10*gyök(7)) cm^2, ezt igény szerint kerekítheted.

Azt hiszem, szögfüggvények nélkül kellemesebb a megoldás:

[link]