Milyen maradékot ad a 2014^2015+2015^2016 héttel osztva?

Akkor inkább [link]

A válasz a kérdésre 4.

Csak a maradékos osztás kisiskolás szintű ismereteire van szükség.

Könnyen belátható, hogy ha két A,B szám 7-es maradéka ugyanannyi,

(vagyis A,B különbsége osztható 7-tel)

akkor A^n és B^n 7-es maradéka is ugyanannyi.

2014-nek és 5-nek a 7-es maradékai ugyanazok (=5),

mert: 5=2014-2009 és 2009 osztható 7-tel.

Ezért 2014^n és 5^n 7-es maradékai biztosan ugyanazok.

Ugyanezzel a gondolatmenettel:

2015^n és (2015-2009)^n = 6^n

7-es maradékai is ugyanazok,

Tehát 2014^2015+2015^2016 helyett a továbbiakban már csak 5^2015+6^2016

7-es maradékát kell keresni.

5 hatványainak 7-es maradékai periodikus sorozatot alkotnak:

5^1 → 5

5^2 → 4

5^3 → 6

5^4 → 2

5^5 → 3

5^6 → 1

5^7 → 5 stb.

(Minden 6.-nak ugyanannyi a 7-es maradéka)

Ebből kiderül, hogy 5^2015 és 5^5 7-es maradékai lesznek ugyanazok.

6 hatványainak 7-es maradékai periodikus sorozatot alkotnak:

6^1 → 6

6^2 → 1

6^3 → 6 stb.

(Minden 2.-nak ugyanannyi a 7-es maradéka)

Ebből kiderül, hogy 6^2016 és 6^2 7-es maradékai megegyeznek.

Tehát a következők 7-es maradékai lesznek ugyanazok:

2014^2015 + 2015^2016

5^2015 + 6^2016

5^5 + 6^2

3 + 1

4

Természetesen a gépi számolás eredményét a tanár nem fogja elfogadni, de van egy súlyosabb szempont is:

ha nem 4-jegyű számnak 4-jegyű hatványkitevőiről volna szó, hanem pl. 10-jegyű számnak 10-jegyű hatványkitevőiről, akkor a gépi megoldás elég sokáig tartana, viszont a fenti matematikai megoldás nem volna nehezebb.