Van egyáltalán ilyen szám?

Legyen ez a szám egy n-jegyű B szám.

Ekkor:

10B+1=3*(10^n+B)

átrendezve:

7B=3*10^n-1

könnyen ellenőrizhető az első néhány eset, és n=5 esetén működik a dolog:

3*10^5-1=299999=7*42857

az a kérdés, hogy vannak-e további ilyen számok

van a kis-Fermat tétel, ami ez esetben azt jelenti, hogy 10^7 és 10 ugyanazt a maradékot adja 7-tel osztva

emiatt 10^12 és 10^5 is ugyanazt a maradékot adja

innen könnyen belátható, hogy 7-esével növelve a kitevőt, a 3*10^n-1 osztható lesz 7-tel

n=5; 12; 19; ...

hány ilyen van 2002-ig?

(...) 286 darab, ha jól számoltam

Tegyük fel, hogy ez az N szám k számjegyből áll, ekkor ha a szám elé írjuk az 1-est, akkor ezt kapjuk: 10^k+N, ha pedig mögé, akkor ezt: 10*N+1. A feladat azt mondja, hogy az előbbi háromszorosa az utóbbinak, vagyis

3*10^k+3*N=10*N+1, ezt rendezzük k-ra; -3*N, osztunk 3-mal:

10^k=(7*N+1)/3. majd vesszük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát:

lg(10^k)=lg((7*N+1)/3), a bal oldal értéke definíció szerint k, tehát

k=lg((7*N+1)/3)

Mivel k értelemszerűen pozitív egész szám, ezért az kell nekünk, hogy (7*N+1)/3 10-hatvány legyen, vagyis 7*N+1 3*10^t alakú legyen, ahol t nemnegatív egész szám. Nézzük meg az ilyen alakú számok 7-es maradékát:

3 -> 3

30 -> 2

300 -> 6

3000 -> 4

30000 -> 5

300000 -> 1

Ha folytatnánk, akkor ugyanezt a számsort kapnánk meg újra és újra és újra... 300000=3*10^5, a fenti egy 6-hosszú ciklus, tehát ha a számunk 3*10^(6z-1) alakú, ahol z pozitív egész szám, akkor 7*N+1=3*10^(6z-1) egyenletben N is pozitív egész lesz, például ha 7*N+1=300000, akkor N=42857. Nézzük meg, erre igaz-e a feltétel:

142857*3=428571, ezt akartuk kapni. Már csak az a kérdés, hogy hány olyan z pozitív egész van, amelyre

3*10^(6z-1)<10^2002, vegyünk mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, majd használjuk a logaritmus azonosságait:

lg(3)+(6z-1)<2002, ezt rendezzük z-re

z<(2003-lg(3))/6, vagyis

z<333,75, tehát 1<=z<=333, ez azt jelenti, hogy 333 darab olyan szám van, amely megfelel a feltételeknek. A legnagyobb ilyen a 3*10^(6*333-1)=3*10^(1997), ekkor N=

[link] , és azt is meg tudjuk nézni, hogy erre az állítás igaz-e:

[link] itt azt kell tudni, hogy az N=(10^1997-1)/7 számnak 1997 számjegye van, tehát 10^1997-nt kell hozzáadni, hogy az első számjegye 1 legyen, ezzel 1998-ra hizlaljuk a számjegyek számát.

Remélem, hogy minden érthető, ha mégsem, akkor várom a kérdéseket :)

Én egy számot találtam, 42857.

428571 = 3 * 142857

Nem tudom, ha még van-e.

#2 vagyok:

Valóban elírtam, nem 7, hanem 6-os a ciklus!

n=5; 11; 17; ...