Ha a halmaznak nincs definíciója, akkor az egy axióma?

Az utolsónak teljesen igaza van. Az alapfogalom bizony matematikai szakszó, egy modell elég nehezen boldogulna alapfogalmak nélkül, hiszen akkor az axiómák nem tudnának miről állítást kifejezni. És bizony a klasszikus euklideszi geometria a pont illetve az egyenes alapfogalmak, és a modellben szó sincs polinomfüggvényekről.

"Az egyenes egy a térből az alaptestébe képző elsőfokú polinomfüggvény nullhelyeinek a halmaza."

Ez meg egyszerűen nem igaz. Egyrészt polinomfüggvényről csak akkor beszélhetünk, ha a tér megegyezik R^n-el, ahol R valamilyen gyűrű. Másrészt, ha a klasszikus valós n-dimenziós térre gondolunk, 3 dimenzióban az "elsőfokú polinomfüggvény nullhelyeinek a halmaza" egy sík. Ha lineáris algebrai definíciót akarunk az egyenesnek, az két vektor affin kombinációinak a halmaza.

Egészen más megközelítésben (felületek belső geometriája) pedig a geodetikus pályák töltik be az egyenesek fogalmának általánosítását.

És igen, ahogy sejtésem szerint, szintén az utolsó válaszoló már megválaszolta (és igen erőteljesen lepontozták), a halmaz a halmazelméleti modell alapfogalma, és ezen alapfogalom tulajdonságaira vonatkoznak a halmazelméleti axiómák.

"A matematika legfontosabb fogalma a halmaz és a halmaz eleme. Ezeket nem lehet egyszerűbb fogalmakból származtatni, csak annyit tehetünk, hogy leírjuk azokat a tulajdonságokat, amelyeket érvényesnek fogunk gondolni rájuk. Ezek a tulajdonságok a halmazelmélet axiómái." Kristóf János: Az analízis elemei (ELTE, 1995).

Röviden: A halmaz alapfogalom, csak körülírni tudjuk a tulajdonságait axiómákkal.

A geometria, mint axiomatikus matematikai elmélet, alapfogalomként kezeli a pont, egyenes fogalmakat, nem lehet a geometrián belül definiálni őket. Egy befoglaló elméletben (pl. analízis) viszont igen, de ott az axiómák nem axiómák lesznek, hanem állítások és definíciók.

Valóban nem "egyenlet", hanem "dimenzió-1 rangú ellentmondásmentes egyenletrendszer". Köszönöm a javítást.

A "két pont affin kombinációinak a halmaza" ekvivalens definíciót ad az euklideszi terek esetében. De ha megpróbálod pl a projektív terekre alkalmazni, akkor azt kapod, hogy minden egyenes egy pont, ami már eléggé eltér, és a ráépülő munka szempontjából meglehetősen szerencsétlen fogalomválasztás.

Abban az esetben is, amikor van választásod, ha azt mondod, hogy affin kombinációk, akkor a priori semmi egyebet nem tudsz róla azon kívül, hogy melyek a pontjai. Ha azt mondod, hogy egyenletek nullhelyei, akkor rögtön tudod, hogy algebrai sokaság. Természetesen akkor is algebrai sokaság, ha nem tudod róla, de nagy általánosságban, ha valami tartalmasabb szeletét sikerül megragadnod a valóságnak, azzal messzebbre jutsz.

Igen, a geodetikusok az egyenes fogalmát általánosítják. De ettől még ugyanaz marad az egyenes fogalma.

Igen, polinom gyűrűk fölött létezik, de a tereink meg test felett vannak, ráadáaul meg is mondtam, hogy a test alaptestje fölött dolgozunk, úgyhogy a bebiflázott definíciók nem értésén túl el nem tudom képzelni, mi a problémád.

Az axiómák valóban nem tudnak miről állítást tenni. Nincs axióma előtti halmazfogalom. Az axiómák töltik meg jelentéssel a szót.

#11, sajnálom, ha neked erre valaki papírt adott, szerintem kérd vissza a pénzedet, vagy nézd meg jobban, mi van a papírra írva. Egy 100 évvel ezelőtti vita vesztes oldalát képviseled.

Nem zavaróak az elírások, előfordul :)

Igazad van, vektorteret test fölött értelmezünk, csak azért írtam gyűrűt, mert az a legáltalánosabb algebrai struktúra, amin értelmezhető a polinom.

A problémám a következő: "térből az alaptestébe képző polinomfüggvény". A térből a testbe képező függvény: V -> T, ebben az esetben egyváltozós, többhatározatlanú polinomfüggvény csak a tér n-szer vett direkt szorzatán értelmezhető, de ez a kisebb probléma. Vektortér elemein nem értelmezett a szorzás, tehát a polinom sem. Nyilván ha V izomorf R^n-el, amin már értelmezhető a dolog, akkor értelmet nyer, de ez a megfogalmazás így nem volt túl precíz, és valóban mint egyenletrendszer már megállja a helyét. Egy szóval sem mondtam, hogy algebrai geometria szempontjából nem hasznos az ilyen jellegű definíció, ellenben ez nem változtat azon a tényen, hogy a klasszikus euklideszi geometria alapfogalomnak tekinti az egyenest.

Minden véges dimenziós vektortér izomorf az alaptestjéből képzett megfelelő szorzattérrel.

Az euklideszi geometriának ma már nem a matematika, hanem a matematika egy (meglehetősen jól kivesézett és ennek következtében érdektelen) ága. Az eloszlásfüggvény ugyanúgy alapfogalma a valószínűségszámításnak, ahogy az egyenes az euklideszi geometriának, arra mégse javasolná senki, hogy építsünk a mostaninál gyengébb, alternatív axiomatikus elméletet. Nem azért, mert az emberek haragszanak az eloszlásfüggvényre, hanem mert tisztán látják, mekkora hülyeség lenne, mikor az évezedes hagyomány nem vakítja el őket.

Mindkettő tökéletesen tárgyalható az axiomatikus halmazelmélet rendszerében, amit nem mellesleg az elmúlt évszázadban nem kevés munkával alkalmassá tettek arra, hogy a matematika alapjául szolgáljon. Az euklideszi geometriáról is csak onnan tudjuk, hogy nem olyan orbitális hülyeség, mint a naív halmazelmélet, mert sikerült beágyazni az axiomatikus halmazelméletbe.