A válaszokban szereplő számhármasok öt háromszög oldalainak hosszát jelölik centiméterben mérve. Melyik háromszög területe a legnagyobb? A 5; 12; 12 B 5; 12; 13 C 5; 12; 14 D 5; 12; 15 E 5; 12; 16

Én a képlet helyett ezt ajánlom:

[link]

(A válaszhoz tudni kellene, hogy hányadikos a kérdező?)

Egy keplet a haromszog teruletere:

T = 1/2 * L1 * L2 * sinα

Ahol L1, L2 a haromszog ket oldala, es α a ket oldal altal kozrezart szog.

Legyen L1 = 5 es L2 = 12 (ezek mindegyik peldanal szerepelnek). Az α szog a harmadik oldal hosszanak fuggvenyeben valtozik, es sinα akkor lesz maximalis, ha α = 90º, vagyis ha a haromszog derekszogu.

A felsorolt peldak kozul a B. esetben derekszogu a haromszog, mert 5;12;13 pitagoraszi szamharmas, tehat ennek a legnagyobb a terulete.

A képlet nélküli megoldáshoz:

Nagyon jó a dinamikus ábra, de biztos bennem van a hiba, mert számomra nem azonnal látható belőle a megoldás.

Egy ilyen elrendezést szemléletesebbnek gondolok:

[link]

Az ábrán a legkisebb (c = 12 cm) és a legnagyobb (c = 16 cm) oldal esetén előálló helyzet látható.

Mivel a b = 12 cm oldal állandó, a háromszög területe csak a 'b' oldalhoz tartozó magasságtól függ.

Az a = 5 cm sugarú köríven mozgó C pont helyzete egyértelműen mutatja a magasság változását.

Látható, hogy a magasság akkor lesz a legnagyobb, ha a C pont egybeesik a D ponttal, vagyis ha derékszögű a háromszög.

Ami az algebrai megoldást illeti:

Legyen

a, b - a két állandó hosszúságú oldal

α - a két oldal által bezárt szög

A trigonometrikus területképlet szerint

T = a*b*sinα/2

A kifejezés értéke akkor lesz a legnagyobb, ha a sinα értéke a legnagyobb.

A szinusz függvény maximuma 1, ezt az értéket α = 90°-nál veszi fel, tehát ha a háromszög derékszögű.

A megadott adatok közül ennek a feltételnek az 5-12-13 oldalakkal bíró háromszög felel meg.

DeeDee

*******