Fizika: Mi a mozgási energia fogalma? (Előre és köszönöm az értelmes válaszokat! )

A mozgási (más néven kinetikus) energia definíciója: az m tömegű, v sebességű test mozgási vagy kinetikus energiája:

E=1/2*m*v^2

A fogalma az a gyorsításba belefektetett munka.

Változatlan erővel nulláról gyorsítva v sebességre a képlet jön ki.

Nem tudom, milyen szinten állsz matematikából, de a mozgási energia képletét az alábbi módon lehet általánosan levezetni. Ehhez deriválásra és integrálásra van szükség. Ha még nem tanultál ilyesmit, akkor úgy kell elképzelni, hogy a deriválás egy mennyiségnek egy másik mennyiség szerinti pillanatnyi változási gyorsaságát adja meg. Pl. a hagyományos sebesség az út változási gyorsaságát az idő függvényében, azaz meg kell nézni, hogy a mozgás egy adott pontját egy pici útszakasz (ds) megtételéhez mennyi időre van szükség (dt), és az eredmény általános esetben maga is nyilván függni fog az időtől, vagyis hogy épp melyik pillanatban vizsgálódunk:

v(t) = ds/dt

Az integrálás pedig az, amikor a fenti képletet "megfordítjuk", és megnézzük, hogy ha egy mennyiség változik egy másik függvényében, akkor mekkora az egyik változása, amíg a másikat két érték között változtatjuk. Jelen esetben tehát mekkora utat teszünk meg, amíg az idő változik:

integrál ds = integrál v(t)*dt

Az integrál egyfajta összegzést jelent, mert az egyes végtelenül rövid ds szakaszokat összegezzük a bal oldalon, és a végtelenül kicsi v*dt kis mennyiségeket a jobb oldalon.

Ezek után a magyarázat a következő.

Ha egy testre erővel hatsz, az gyorsul. Ennek az erőnek a munkáját a W=F*s képlet alapján számoljuk. Ez az erő persze időben, azaz a megtett út mentén változhat, ekkor ez az egyszerű szorzáson alapuló képlet csak nagyon pici útszakaszokra vonatkozik: dW=F*ds. Ez azért van, mert a következő pillanatban F már másmekkora, tehát nemcsak arról van szó, hogy egy konstans F-et megszorozzuk a megtett úttal, hanem figyelembe kell venni az F változását is. Ezt úgy tehetjük meg, hogy F helyére beírjuk Newton II. törvénye alapján azt, hogy

F = dI/dt,

azaz az erő az impulzus, tehát I=m*v, idő szerinti deriváltja (változási gyorsasága), a ds helyére meg azt, hogy

ds = v(t)*dt, ahol v(t) a t pillanatbeli sebesség.

Ekkor azt kapjuk, hogy

dW = dI/dt * v(t)dt = m*dv/dt * v(t)dt = m*v*dv

A dt tehát "kiesett", hiszen egy van a számlálóban, egy a nevezőben. (Ettől egy matematikus most szívrohamot kap, de fizikában általánosak az ilyen jellegű gondolatmenetek, és a lényeget nem érinti.) Tehát a végső képlet szerint az erő által végzett munkát egy kis mozgástartományra (dW) úgy tudjuk kiszámolni, hogy az épp aktuális impulzus értékét (m*v) megszorozzuk a gyorsulás miatt bekövetkező sebességváltozással (dv). Ekkor már csak összegezni, azaz integrálni kell mindkét oldalt:

integrál dW = integrál m*v*dv

Ebből pedig ezt kapjuk:

W = 1/2*m*(v2^2-v1^2) = 1/2*m*v2^2 - 1/2*m*v1^2 = Em1 - Em2

Tehát a végzett munka egyenlő egy a végállapotra és a kezdeti állapotra vonakozó egyfajta mozgásmennyiség különbségével, és ezt a mennyiséget nevezzük mozgási energiának. Ahhoz, hogy hogyan jön be az 1/2, érteni kell az integrálási szabályokat, de a lényeg úgyis az elv, ahogy a dolog kiszámolható: erő hatására a test gyorsul, és bevezethető egy a tömegen kívül csak a test sebességétől függő mennyiség, amelynek változása írja le a test által felvett energiát, amelynek növelésére az erő általi munkavégzés fordítódik, és ez mozgási energia:

Em = 1/2*m*v^2

Pardon, a végén felcseréltem az indexeket. Így kell:

W = Em2 - Em1

Ha már ennyire precízkedni akarunk, a #3 válaszhoz hadd fűzzek néhány megjegyzést: A közölt levezetés egyáltalán nem az általános esetre vonatkozik, abban több feltételezés is van, amit nem írt le a tisztelt 3.válaszoló, pedig nyílván egy levezetés csak akkor teljes értékű, ha rámutatunk a korlátokra is.

A levezetés során pl. feltételezve volt hogy anyagi pont mozgását vizsgáljuk. Vagy ha esetleg merev testét, akkor a megfelelő mennyiségeket és felírt egyenleteket a súlypontban kell érteni.

Továbbá a levezetés skalármennyiségekkel dolgozik, így az egész formalizmus feltételezi hogy a mozgás egyenesvonalú.

Általános esetben térbeli mozgások tárgyalásánál vektori mennyiségek használatosak, valamint a kísérő triéder fogalma vezetendő be az egységes differenciálgeometriai tárgyaláshoz.

Ezt a fontos tényt a #3 válaszoló teljes mértékben figyelmen kívül hagyja, meg sem említve, hogy egy megszorítást használ.

Végül az impulzustételt kezdetben felírja az eredeti alakban (transzlációs esetre) majd magyarázat nélkül, elhagyva a megszorításra való utalást tekinti állandónak a tömeget. (Pedig tudjuk, ez sokszor nincs így...)

Nem akartam kötekedni, de ha már belemegyünk a korrektebb leírásba, akkor az a minimum, hogy megemlítsük a feltételeket, és a megszorításokat.

Sokszor ez amúgy a baj a középiskolában is, ott van a sok képlet, direkt olyan példákat adnak amire még éppen lehet őket használni, de ismeretlen marad a diák számára az a tény, hogy minden formula alkalmazásának komoly határai vannak.

Az 5-ös, kissé kekeckedő válaszolóhoz egy kiegészítés.

A 3-as választ én írtam, de nem, nem akartam ennyire precízkedni. Ezt te akartad, kedves 5-ös. Igen, valóban nem mentem bele ilyen értelemben a részletekbe, és bizony kihagytam azt is, hogy mindezt nemrelativisztikus esetben, sík téridőn tekintem, a metrikus tenzort, az energia-impulzus tenzort és az energiamegmaradáshoz szükséges Killing-egyenleteket pedig teljességgel említés nélkül hagytam. Elnézést érte. De ilyen értelemben akkor a kedves 5-ös válaszoló sem írta le helyesen azt, hogy mi a mozgási energia fogalma.

Sajnos a szakértők sokszor esnek abba a hibába, hogy nem képesek felmérni az ezen a fórumon kérdezők ismereteinek általános szintjét, és fölöslegesen villogva a tudásukkal teljesen kimerítő választ akarnak adni, amellyel persze csak jól öszezavarják a kérdezőt, ellátva őket sok szükségtelen információval. El lehet magyarázni úgy is a mozgási energiát, hogy leírjuk jó sokszor, hogy "ha feltételezzük, hogy..., akkor igaz az, hogy...", de a végén a sok speciális feltétel miatt rajtunk fognak röhögni, és valljuk meg, joggal. Ez a fórum nem szakértőknek szól, hanem laikusoknak.

A kérdés a mozgási energia fogalmára vonatkozott, az általam adott levezetés pedig egy felső-középiskolai szinten teljesen kielégítő módon mutatja meg azt, hogy hogyan kerül elő ez a fogalom a fizikábanúgy, ahogy középiskolában használják. Lehet éppenséggel beszélni differenciálgeomertiáról, kísérő triéderről, skalárszorzatról, vonalintegrálról, leginkább a rakétatechnikában előforduló változó tömegekről, csak épp itt totál fölösleges.

"Sokszor ez amúgy a baj a középiskolában is, ott van a sok képlet, direkt olyan példákat adnak amire még éppen lehet őket használni, de ismeretlen marad a diák számára az a tény, hogy minden formula alkalmazásának komoly határai vannak."

Ezzel egyetértek. Csak azt sem szabad elfelejteni, hogy a fizikusokat nem a középiskolában képezzük. Lehet és kell beszélni arról, hogy a fizika modellalkotó tudomány és közelítésekkel, egyszerűsítésekkel dolgozik, de ezen a szinten lépten-nyomon szájbarágni a megszorításokat nem alapos oktatásra vall, hanem éppenséggel hiba. Akit ugyanis a fizika érdekel, az majd tovább tanul és megy szépen egyetemre, ahol mindent meg tud tanulni rendesen.

"Lehet és kell beszélni arról, hogy a fizika modellalkotó tudomány és közelítésekkel, egyszerűsítésekkel dolgozik, de ezen a szinten lépten-nyomon szájbarágni a megszorításokat nem alapos oktatásra vall, hanem éppenséggel hiba. Akit ugyanis a fizika érdekel, az majd tovább tanul és megy szépen egyetemre, ahol mindent meg tud tanulni rendesen."

Ezzel részben egyetértek, de azért hagy kívánnivalót maga után. A középiskolai fizikaoktatás tekintetében alapvető hiányosság és tévút a "megszokott" képletek korlátainak eltitkolása.

A fizika nem képletgyűjtemény, mint ahogyan azt sokan hiszik, hanem egzakt tudomány, amely a valóságos jelenségeknek egyfajta absztrahálása útján nyert modellek leírását adja meg.

És ezt középiskolában is hangoztatni kell véleményem szerint.

Ha ugyanis valaki bemagol egy képletet, akkor legalább tudja azt, hogy mikor lehet alkalmazni, ill. melyik mennyiség mögött mi van. Mert ugye nem csak a betűket kell tudni.

És ha ez így lenne, akkor villamos energiaátvitelkor a Q=I^2*R*t képlettel számítandó Joule-hőveszteségnél senki nem írná t helyére a 25°C-os levegő hőmérsékletét...

"A középiskolai fizikaoktatás tekintetében alapvető hiányosság és tévút a "megszokott" képletek korlátainak eltitkolása."

Ez elsősorban a tanáron múlik, nem a középiskolai oktatás elvont fogalmán. Meg persze azon is, hogy adott szinten miről érdemes beszélni és miről nem. Pl. a mozgási energiának a Schrödinger-egyenletben megjelenő operátor tagjáról nem igazán. De arról viszont esik szó, hogy a fizika sokszor egyszerűsít, és használ vagy pontszerűnek tekinthető testeket (ahol lehet) vagy tömegközéppontba helyezett tömegpontos közelítést. Egyébként ha jól emlékszem, a mozgási energiát gimnáziumban legfeljebb egyenletesen gyorsuló mozgásra szemléltetve lehetett kihozni, ahol nem kellett integrálni, csak egy háromszög alatti területet kiszámolni, utána "el kellett hinni", hogy ez általánosan is igaz. Na, ennyit az oktatás "korrektségéről". Sajnos nem lehet mindig mindent megfelelő mélységben megmagyarázni, ha nincsenek meg a konkrét matematikai eszközök hozzá. Megemlíteni persze lehet, de mivel nem érti senki, az el is száll a levegőben.

Egyébként teljesen egyetértek veled. Több évtizedes fizika- és matematikaoktatási tapasztalatom alapján én is azt látom, hogy sokan hiszik azt, hogy e két tudomány képletgyűjtemény, és abba bele sem gondolnak, hogy ezeket a képleteket nem hasból írta föl senki. De meg kell békélni azzal, hogy azon túl, hogy felhívjuk a figyelmet arra, hogy egyes modellek és a belőlük következő képletek milyen körülmények között használhatók, középiskolában többet nem igazán tehetünk és nem is igen várhatunk el. A fizika tanulása és tanítása is fokozatos, approximatív jellegű, és az egyszerű képletbehelyettesítéses példáktól kezdve az egyre általánosabb modelleken keresztül vezet az egyre tágabb elméletek felé. De amikor itt valaki megkérdezi, hogy mi a mozgási energia, akkor nem arra kíváncsi, hogy mikor nem igaz ez a fogalom, hanem arra, hogy mikor igen, és a lehető legegyszerűbben szeretné megérteni. Nyilván nem kell neki kiselőadást tartani arról, hogy mi a helyzet nagy sebességeknél vagy kvantumos viselkedésű elemi részecskéknél. Csak arra kell rávilágítani, hogy egyáltalán miért értelmes, sőt, szükségszerű, a fogalom bevezetése, és ehhez elég a legegyszerűbb esetet felvázolni. Sajnos már ez sem igazán megy integrálás nélkül, de hogy sem differenciálgeometria, sem vektormezők vonalintegrálja nem kell hozzá, az tuti.