Mekkora a szárszöge annak az egyenlő szárú háromszögnek, amelynek a beírt körének területe egyenlő a háromszög területének felével?

A beírt kör sugarára igaz ez:

r·(a+b+b) = T

ahol a háromszög alapja a, szára b, területe T. (Ez ugye tiszta?)

Ilyen kör kell:

r²π = T/2

Ezekből:

T² / (a+2b)² = T·π/2

(1) T = (a+2b)²·π/2

A háromszög területe:

(2) T = b²·sin(α) / 2

Fejezzük ki az a oldalt is b-vel:

sin(α/2) = (a/2) / b

a = 2b·sin(α/2)

Ezt behelyettesítve (1)-be:

T = (2b·sin(α/2) + 2b)²·π/2

T = 2b²·(sin(α/2) + 1)²·π

Ezt (2)-vel összevetve:

b²·sin(α) / 2 = 2b²·(sin(α/2) + 1)²·π

sin(α) = 4π·(sin(α/2) + 1)²

Nem tudom, hogy ennek van-e valamilyen normális levezetése. A Wolfram szerint van gyöke, de 360°-nál nagyobb, ami már bőven fuccs:

[link]

Én úgy számolnék, hogy legyen az alapokon fekvő szögek nagysága 2ß, az alap a, a szárak b, ekkor behúzva a szögfelezőket, egy derékszögű háromszöget kapunk, ahol az egyik csúcs a beírt kör középpontja, egyik befogója a kör sugara, ekkor felírhatjuk, hogy tg(ß)=r/(a/2), vagyis a*tg(ß)/2=r, ez a kör sugarának nagysága (cm-ben). Ez alapján a beírt kör területe

r^2*π = a^2 * tg(ß)^2 * π/4

A háromszög területe a*b*sin(ß)/2, ennek a fele a kör területe, vagyis

a^2 * tg(ß)^2 * π/4 = a * b * sin(ß)/4, ebből

a * tg(ß)^2 * π* sin(ß) = b * sin(2ß)

Mivel sem a, sem b nem akar kiesni, kifejezzük az egyiket a másikból, mondjuk koszinusztétellel:

b^2=a^2+b^2-2*a*b*cos(2ß)

-a^2=-2*a*b*cos(2ß)

a/(2*cos(2ß))=b, így

a * tg(ß)^2 * π * sin(ß) = a/(2*cos(2ß)) * sin(2ß), erre azt kapjuk, hogy

tg(ß)^2 * π * sin(ß) = tg(2ß)^2/2

GeoGebrával ábrázoltam a függvényeket, és értelmes megoldásnak az x=~0,94152 jött ki, ez fokban ß=~54°. Ezzel csak az a probléma, hogy akkor az alapon fekvő szögek 2ß=108°-osak, ezek összege 216°, ami már több 180°-nál.

Persze, triviális megoldás a ß=0°, ekkor elfajult háromszöget kapunk, melynek területe 0, a beírt körének területe 0, 0/2=0, ez megoldás, igaz, nem valós háromszögre jön ki ez az eredmény, ebben az esetben a szárszög nagysága 180°.

Azért nézzétek át, lehet hogy elszámoltam valamit.

Két megoldása biztosan van:

[link]

Több helyen is elírtam... Most szépen leírtam egy papírra, és látom, hogy mit néztem el (ebbe az egysoros leírásba teljesen belekavarodtam...) Szóval:

T(háromszög)/2=T(kör), vagyis

a*b*sin(2ß)/4=a^2*tg(ß)^2*π/4

b*sin(2ß)=a*tg(ß)^2*π

koszinusztételből b=a/(2cos(2ß)), így

sin(2ß)*a/(2cos(2ß))=a*tg(ß)^2*π, ebből

tg(2ß)/2=tg(ß)^2*π

GeoGebrával ábrázoltam a két oldat függvényként, arról 3 közelített megoldást tudtam leolvasni, ami 2ß-ra 90°-nál kisebb megoldást ad:

x(1)=0, erre ß(1)=0° (ez a triviális megoldás, amit előbb írtam)

x(2)=~0,35287, erre ß(2)=~20,218°, így 2*ß(2)=40,436°

x(3)=~0,65219, erre ß(3)=~37,368°, így 2*ß(3)=74,736°

Ezekre

Ł(1)=180°

Ł(2)=99,128°

Ł(3)=30,528° szárszögeket kapunk, ez közel annyi, mint amit az ábrázolt megoldáson láthatunk.

(A WolframAlpha még közelítő megoldást sem tudott adni a tg(2ß)/2=tg(ß)^2*π egyenletre, így gyanítom, hogy zárt alakú megoldása nincs, vagy ha van, az nagyon-nagyon bonyolult.)

Én többször is elrontottam a levezetést... kapásból az eleje már rossz, hiszen r·(a+b+b) = 2T

Most már csak a rend kedvéért: jól végigszámolva ez jön ki:

π·sin α = (sin(α/2)+1)²

A Wolfram ezt meg tudja oldani, a két lehetséges szárszög pont SzZs megoldásai. Viszont nincs értelmes zárt alak rájuk.

Aztán megcsináltam máshogy is: a háromszög magassága legyen 1, a szárszög fele pedig x. Ekkor:

A háromszög területének fele: (tg x)/2

A beírt kör sugara: tg x · tg((90°-x)/2)

Így az egyenlet:

2π·tg x·tg²((90°-x)/2) = 1

Ez csúnyábbnak tűnik, mint az előző. A Wolfram megoldása most is ugyanaz, ráadásul ad rá "valamilyen" zárt alakot is:

[link]

A Solutions-nél az Exact forms-ra kell klikkelni a zárt alakhoz, ez lesz:

x = 4(arc tg(root of x^6+(8pi-6)x^5+(16pi+9)x^4-(16pi-4)x^3-(16pi+9)x^2+(8pi-6)x-1)+n·pi)

Hogy ez hogyan jön ki, azt nem tudom. Van ott Step-by-step solution gomb, de nincs előfizetésem a Wolfram-nál...

Megnéztem DeeDee megoldását is a Wolfram-ban, ott is van Exact forms, de az sem nagyon értelmes; hasonlít az én első megoldásomhoz.

Ennyiféle egyenlőszárú megoldás után már bővelkedhetünk az ötletekben :)

Mondjuk legyen a=1, b=tg β, c=1/cos β

2T = tg β

másrészt

2T = r·(a+b+c) = r·(sin β + cos β + 1)/cos β

ezért

r = sin β / (sin β + cos β + 1)

r²π = T/2 → 4π· sin² β / (sin β + cos β + 1)² = tg β

átszorzások és egyszerűsítések után:

4π sinβ cosβ = (sinβ + cosβ + 1)²

érdemesnek tűnik kifejteni a négyzetet:

4π sinβ cosβ = sin²β + cos²β + 1 + 2sinβcosβ + 2sinβ + 2cosβ

2π sinβ cosβ = 1 + sinβcosβ + sinβ + cosβ

(2π-1) sinβ cosβ = 1 + sinβ + cosβ

A Wolfram szerint ennek 2 nem-triviális megoldása van.

[link]

Ráadásul ezeknek a megoldásoknak olyan egyszerű az exact alakjuk (2π·x² - (2π-1)x + 1 = 0 gyöke, ahol x = tg β/2), hogy biztos lehet ezt még értelmesebben is átalakítani, de nekem most nincs időm gondolkodni rajta...