Egy "a" sorozatra a1=3 a (n) =a (n-1) +n, ha n nagyobb egyenlő 2. Egy "b" sorozatra b (n) =2+ (n* (n+1) ) /2. Igazold, hogy a két sorozat megegyezik! (? )

Teljes indukcióval lehet:

1. n = 1-re megvizsgáljuk:

a1 = 3

b1 = 2 + (1 * (1 + 1)) / 2 = 3

jó

2. Tegyük fel, hogy a(n) = b(n), azaz:

a(n) = 2 + (n * (n + 1)) / 2

3. Igazoljuk, hogy a(n + 1) = b(n + 1)

a(n + 1) = a(n) + n + 1

b(n + 1) = 2 + ((n + 1) * (n + 2)) / 2

Az a(n + 1)-be helyettesítsük be az indukcióf feltevést:

a(n + 1) = a(n) + n + 1 = 2 + (n * (n + 1)) / 2 + n + 1

Ezzel az összeggel foglalkozzunk:

(n * (n + 1)) / 2 + n + 1

Hozzuk közös nevezőre (2):

(n * (n + 1)) / 2 + (2 * (n + 1)) / 2 =

= ((n * (n + 1)) + (2 * (n + 1))) / 2 =

emeljük ki az (n + 1)-et az összeg mindkét tagjából

= ((n + 1) * (n + 2)) / 2

Ezt helyettesítsük vissza:

a(n + 1) = 2 + (n * (n + 1)) / 2 + n + 1 = 2 + ((n + 1) * (n + 2)) / 2

Ami nem más, mint a b(n + 1). Tehát beláttuk:

Ha a(n) = b(n), akkor a(n + 1) = b(n + 1).

(n >= 1)

Amiből az következik, hogy minden pozitív egész számra igaz a fenti állítás, azaz a két sorozat egyenlő.

Egy biztos, hogy mindkét sorozat másodrendű számtani sorozat. Lásd Wikipédia magyar nyelvű leírását is. Összefüggéseket kellene találni a rekurzív megadás (a) és az analitikus szemléletű definíció (b) között. Ott ugyan megkísérelték ezt, de pongyolán sikerült, mert az egyik helyen B-A helyébe egyszerűen B-t írtak. Folyt. Köv.

Sz. Gy.

#1 válaszát lerövidíthetjük, mert azonnal adódok a(n) + n + 1 = 2 + (n * (n + 1)) / 2 + n + 1 sorból, hogy

a(n)= 2 + (n * (n + 1)) / 2 + n, ami nem más mint b(n).

Sz. Gy.

Okoskodása?!

A kérdező kért részletes megoldást.

Nyilvánvalóan nem okoskodás. Inkább érvelés vagy bizonyítás. Teljesen igaza van. Legszívesebben kitöröltetném ezt a pár blokkot. Még egyszer bocsánat!

Sz. Gy.