Egy pont és egy egyenes legkisebb távolságának a képletét hogy tudnátok bizonyítani?

A legegyszerűbb bizonyításhoz tudni kell, hogy

egy <u>u</u> vektor <u>v</u> irányú vetületének az előjeles hossza:

(<u>u</u><u>v</u>)/|<u>v</u>|

ami negatív, ha a közbezárt szög tompaszög (φ>180°), de

ha ez számunkra érdektelen, akkor az abszolút értékét kell venni.

Ehhez le kellene rajzolni a közös végpontú <u>u</u>,<u>v</u> vektorokat és a skalárszorzat tulajdonságára gondolni:

<u>u</u><u>v</u> = |<u>u</u>|·|<u>v</u>|·cosφ

P(x0;y0)

Q(x1;y1) az egyenes egy tetszőleges pontja

QPvektor = (x0-x1;y0-y1)

az egyenes egyenletét vegyük Ax+By+C = 0 alakban.

az egyenes normálvektora, <u>n</u>(A;B)

A P pont egyenestől való távolsága nem más, mint

az egyenes tetszőleges Q pontjából P-be mutató vektornak

a normálvektor irányú <u>n</u> vetületének hossza.

d = ((Q→P)·<u>n</u>)/|<u>n</u>|

⇓

d = ((x0-x1;y0-y1)·(A,B))/√(A²+B²)

⇓

d = (A(x0-x1) + B(y0-y1))/√(A²+B²)

A zárójeleket felbontva és

felhasználva, hogy Ax1+By1+C = 0,

(ugyanis Q(x1,y1) az egyenesen van)

⇓

d = (Ax0 + By0 + C)/√(A²+B²)

Végül az egésznek - elég csak a számlálónak - az abszolút értékét venni,

hogy az említett előjelességet kiküszöböljük

Az előző hsz tárgytalan, mert félreértettem a formázási lehetőségeket.

Javított változat:

A legegyszerűbb bizonyításhoz tudni kell, hogy

egy u vektor v irányú vetületének az előjeles hossza:

(uv)/|v|

ami negatív, ha a közbezárt szög tompaszög (φ>180°), de

ha ez számunkra érdektelen, akkor az abszolút értékét kell venni.

Ehhez le kellene rajzolni a közös végpontú u,v vektorokat és a skalárszorzat tulajdonságára gondolni:

uv = |u|·|v|·cos φ

P(x0;y0)

Q(x1;y1) az egyenes egy tetszőleges pontja

QPvektor = (x0-x1;y0-y1)

az egyenes egyenletét vegyük Ax+By+C = 0 alakban.

az egyenes normálvektora, n(A;B)

A P pont egyenestől való távolsága nem más, mint

az egyenes tetszőleges Q pontjából P-be mutató vektornak

a normálvektor irányú n vetületének hossza.

d = ((Q→P)·n)/|n|

⇓

d = ((x0-x1;y0-y1)·(A,B))/√(A²+B²)

⇓

d = (A(x0-x1) + B(y0-y1))/√(A²+B²)

A zárójeleket felbontva és

felhasználva, hogy Ax1+By1+C = 0,

(ugyanis Q(x1,y1) az egyenesen van)

⇓

d = (Ax0 + By0 + C)/√(A²+B²)

Végül az egésznek - elég csak a számlálónak - az abszolút értékét venni,

hogy az említett előjelességet kiküszöböljük

Egy kis szőrszálhasogatás:

"pont és egyenes legkisebb távolsága"

Elég volna annyi, hogy "pont és egyenes távolsága".

Ugyanis két ponthalmaz távolsága =

a lehetséges pontpárok távolságainak legkisebbike, pontosabban alsó határa.