Az ABCD konvex négyszög átlói merőlegesek egymásra. Három oldalának a hossza a = 1 cm, b = 5 cm és c = 5,5 cm. Mekkora a negyedik oldala?

Az "e" és "f" hosszúságú átlók metszéspontja két-két részre osztja az átlókat.

e = e1 + e2

és

f = f1 + f2

Négy derékszögű háromszög keletkezik, Pitagorasz tételével:

e1² + f1² = 1² (1)

e2² + f1² = 5² (2)

e2² + f2² = 5,5² (3)

e1² + f2² = ??? (4)

(4) ⇐ (1) - (2) + (3)

e1² + f2² = 1² - 5² + 5,5²

= 6,25 = 2,5²

A negyedik oldal: 2,5

Tétel: a merőleges átlójú négyszögek szemben fekvő oldalainak négyzetösszege egyenlő.

A bizonyítást lásd:

[link]

DeeDee

**********

A jó link:

[link]

Na még egyszer:

[link]

Ez a fenti megoldásból is azonnal következik:

a² + c² = (e1²+f1²) + (e2²+f2²)

b² + d² = (f1²+e2²) + (f2²+e1²)

Kedves Fibonacci!

Könnyű okosnak lenni, ha már megmutatták, hogy mit kell keresni. :-)

Rejtélyes vagy. Kicsoda micsodátt mutatott meg és ki lett attól okosabb?

Ha már benne vagy a témában, akkor vezessed le a tételed általánosítását is.

Bármely konvex négyszögben:

a² - b² + c² - d² = 2ef cos(φ)

(φ az átlók által bezárt szög, ami b-vel, illetve d-vel szemben van.)