Egy (szokásos számozású) utcaszakasz egyik oldalán saroktól sarokig a házszámok összege 117. Mi az utcaszakasz elejétől számított ötödik ház?

Nem igazán értem, hogy a feladat mit ért "szokásos számozású utcasor" alatt, de mivel kétféleképpen tudom értelmezni, ezért levezetem mindkettőt:

1. eset, ami szerintem reálisabb: az utca egyik oldalán a páros, másik oldalán a páratlan számok vannak. Értelemszerűen a páros házszámok összege nem lehet páratlan, így marad a páratlan oldal. A számok ezen az oldalon 2-esével nőnek, tehát számtani sorozatot alkotnak. Ebben az esetben két lehetőség adódik a megoldásra:

1) "kaptafa-módszer": legyen az első ház száma x, és legyen n darab ház azon a részen, a sorozat differenciája 2, így az összegképlettel:

(2x+2*(n-1))*n/2=117, vagyis (x+n-1)*n=117. Mivel x és n is pozitív egész, ezért a bal oldali szorzat értéke csak akkor lehet 117, hogyha a 117 osztható n-nel, vagyis n 117-nek valamelyik osztója. Írjuk fel 117 osztóit: {1;3;9;13;39;117}, ezek lehetnek n lehetséges értékeit. Ezek alapján:

-n=1: (x+1-1)*1=117, vagyis x=117 (triviális megoldás)

-n=3: (x+3-1)*3=117, vagyis x=37, a soron 37;39;41 házszámok vannak

-n=9: (x+9-1)*9=117, vagyis x=5, 5-től 21-ig vannak házszámok

-n=13: (x+13-1)*13=117, vagyis x=-3, ez már nem nyerő.

Ugyanez lesz igaz az ennél nagyobb n-ekre is.

Mivel az a kérdés, hogy az ötödik háznak mi a házszáma, ezért csak az n=9 megoldás jöhet számításba; ott az első ház száma 5, ez után 7;9;11;13 számok vannak, tehát az ötödik házszám a 13-as.

2) Kicsit gondolkodós és életegyszerűsítős megoldás: jelöljük a középső ház számát x-szel, ekkor a többi házszám így fog kinézni:

x-2k ; ... ; x-6 ; x-4 ; x-2 ; x ; x+2 ; x+4 ; x+6 ; ... ; x+2k

Ha ezeket összeadjuk, akkor a "sallangok" pont kiütik egymást, ekkor az összeg:

x+...+x+x+x+x+...+x, már csak az a kérdés, hogy hány x van; x után k darab házszám van, x előtt is, ez összesen 2k darab szám, az x miatt +1, tehát összesen 2k+1 darab x-et adunk össze, így a fenti összeg:

(2k+1)*x, ez egyenlő 117-tel. Ezt ugyanúgy oldjuk meg, mint már egyszer megoldottuk, csak itt x lehetséges értékei lesznek az osztók, és a középső házszámot kapjuk meg, az egyenlet megoldásából pedig azt, hogy hány ház van.

2. eset: bizonyos esetekben (falu szélén) az út egyik oldalán vannak csak számok, a másik oldalon fasor van, ekkor érdemesebb egymás után álló számokat adni a házaknak. Itt is el lehet járni kétféleképpen:

1) Legyen az első házszám x, és n darab ház, a sorozat differenciája 1, ekkor az összegképlettel:

(2x+(n-1)*1)*n/2=117, vagyis (2x+n-1)*n=234. Az előzőek alapján n osztója a 234-nek, tehát n={1;2;3;6;9;13;18;26;39;78;117;234}. Ezeket n-re végigszámoljuk, de ahogy az előbb is, itt is elég a 13-ig nézni, a többire negatív x-et kapunk, azok meg ugye nem érdekesek a feladat szempontjából, és mivel az ötödik ház száma a kérdés, ezért 6-tól vizsgálódunk. Ebből következően több megoldása is lesz a feladatnak, vagyis egyértelmű választ nem tudunk adni a kérdésre, ezért valószínű, hogy az elsőre vázolt gondolatmenetre gondolt a kérdés kiötlője.

2) Ez is felírhat az "okos"-módszerrel azért, mert ha párosan lennének, akkor az összeg is páros lenne, így csak páratlan számosságú házszám lehet; legyen a középső szám x, ekkor a többi:

x-k ; x-3 ; x-2 ; x-1 ; x ; x+1 ; x+2 ; x+3 ; ... ; x+k, ezek összege a fentiek alapján (2k+1)*x=117, és megoldjuk.