Egy hegyesszögű háromszög 2 magasságvonala 4 részre osztja a háromszöget. Tudjuk, hogy ezekből a részekből 2-2 azonos területű. Mekkorák a háromszög szögei?

Legyen ABC háromszög két szóban forgó magassága BP és CQ, metszéspontjuk M, a magasságpont.

A négyszög területe nem lehet egyenlő egyik vele szomszédos háromszögével sem, mert akkor a másik két háromszög pl. BQM és BMC területe is egyenlő lenne, ekkor QM és MC is egyenlő lenne, azaz PQM és PCM területe is megegyezne, ez meg lehetetlen.

Elfáradtam. Nem írom tovább ilyen precízen, csak nagy vonalakban:

Tehát csak a szemközti területek lehetnek egyenlők. QBM és PCM ekkor belátható, hogy egybevágók, emiatt AB=AC, az A-ból induló magasság két egybevágó részre bontja a másik részt, ezek egybevágóak, tehát ABC háromszög szabályos.