Egy szabályos ötszög átlója 10cm. Mennyi az ötszög területe?

Remélem, ez elegendő segítség:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Tegnap este nem volt elég időm, ezért linkeltem egy „kész” megoldást.

Most néztem meg alaposabban, hát…

Tény, hogy jobban jársz, ha megtanulod a sokszögek szögei-, kerülete-, területe kiszámításának általános képleteit, mert, például dolgozatírásnál egy ilyen végig-gondolásra, mint amit leírok, nincs idő.

Egyszer kell végiggondolni a képletekhez vezető „utat” (szögfüggvények, társszögek, váltószögek, szinusz- és koszinusz tétel stb.) és utána csak alkalmazni kell azokat. (Sikeresebben, mint a linkelt kérdés válaszírói; illetve, úgy tűnik, hogy a 2. válasz jó lenne, csak már nem él a képfájl elérhetősége.)

Tehát egy lassú út:

Rajzolj le, egy egyik oldalán álló, nagyjából szabályos ötszöget.

A felső csúcsától kezdődően, az óramutató járásával ellenkezően, nagybetűkkel jelöld a csúcsait: A, B, C, D, E. (Megállapodás szerint, ezt a körbejárási irányt szokás alkalmazni.)

A szabályos ötszög szögeinek nagysága?

A középpontból minden csúcshoz rajzolj egyenes-szakaszt! Kaptál 5 db, egyenlőszárú, egymással egyenlő háromszöget.

Rajzolj egy kis kört a középpont köré. A kör 360°-os. Az 5 háromszög 5 egyenlő cikkre osztja; egynek-egynek a középpontnál levő szöge 360°/5 = 72°.

A háromszög belső szögeinek összege 180°. Ha a háromszög egyik szöge 72°-os, akkor a másik két szögének összege 180°-72° = 108°. Egyenlőszárú háromszögnél az a két szög egyenlő, egyik tehát 108°/2 = 54°.

Az ötszög egy-egy csúcsnál 2 ilyen szög van, tehát az 2*54° = 108°.

↑ Ez minden szabályos sokszögnél alkalmazható gondolatmenet, de van rá általános érvényű megállapítás is: egy „n” oldalú sokszög belső szögeinek összege (n-2)*180°.

Így az ötszögé (5-2)*180° = 3*180° = 540°. És, mivel szabályos ötszögről van szó, egy-egy szöge 540°/5 = 108°.

Rajzolj egy új ötszöget!

Rajzold be a B-csúcsot az E-csúccsal összekötő átlóját.

Az átló középpontját (ez legyen ÁK) kösd össze az A-csúccsal.

Például, A↔ÁK↔E egy derékszögű háromszög csúcsai; a derékszög ÁK-csúcsnál van.

A háromszög ÁK↔E befogója az átló fele. Mivel az átló 10 cm-es, ez a befogó 10/2 = 5 cm-es. ◄①-es, megjegyzendő adat.

A↔ÁK az A-csúcsnál levő 108°-os szöget felezi. Így A↔ÁK↔E háromszög A-csúcsnál levő szöge 108/2 = 54°-os.

Az A↔ÁK befogó hossza kiszámolható.

(Nem tudom, hogy a „tangens”-t hogyan jelölitek; én „tg”-nek tanultam, de szokásos a „tan’ jelölés is.)

tg(54°) = 5/ (A↔ÁK)

A↔ÁK = 5 / tg(54°) ≈ 5 / 1,376 ≈ 3,63 cm. ◄②-es, megjegyzendő részeredmény.

A két befogó hosszának ismeretében A↔ÁK↔E háromszög területe: 5 * 3,63 / 2 = 9,075 cm².

Ha B-csúcsot D-csúccsal összekötő átlót is berajzolod, és annak felező pontját (ez legyen BK) összekötöd C-csúccsal, akkor további 2 derékszögű háromszöget kapsz.

A 4 derékszögű háromszög (A↔B↔ÁK, A↔ÁK↔E, B↔C↔BK és BK↔C↔D) egyenlő területű, az összterületük 4*9,075 cm² = 36,3 cm². ◄③-as, megjegyzendő részeredmény.

Ha a B↔D↔E háromszög területét is kiszámítjuk, akkor meghatározható az ötszög területe.

A háromszög D↔E oldalának hosszát meg tudjuk állapítani, mert az egyenlő E↔A-val; ami A↔ÁK↔E háromszög átfogója. Már maghatároztuk, hogy A↔ÁK 3,63 cm (lásd ◄②), és tudjuk, hogy ÁK↔E 5 cm (◄①). Pythagoras tételével (E↔A)² = 3,36² + 5 ² = 11,2896 + 25 = 36,2896. E↔A = √(36,2896) ≈ 6 cm. Ez E↔A hossza, ami egyenlő D↔E hosszával (is). ◄④-es megjegyzendő adat.

Ha B-csúcsból az D↔E szakasz felező pontjáig (legyen XY) húzol egy egyenes-szakaszt, az a B↔D↔E háromszög magasságvonala lesz, merőleges D↔E oldalra.

Két derékszögű háromszög keletkezik. Egyikük egyik befogója D↔E szakasz (lásd ◄④) hosszának a fele, azaz 6/2=3 cm.

Nézzük meg a B-csúcsnál levő szögeket.

Az ötszög belső szöge 108°. A↔ÁK↔E háromszög A-csúcsnál levő szöge 108/2 = 54°-os. Ugyanennyi az A↔B↔ÁK háromszög A-csúcsnál levő szöge is. Ennek a háromszögnek a B-csúcsnál levő szöge 180°-90°-54° = 36°-os.

A B-csúcsnál ugyanekkora a szöge a B↔C↔BK háromszögnek is. Így a B↔D↔E háromszög B-csúcsnál levő szöge 108°-(2*36°) = 36°-os.

A B↔XY↔E derékszögű háromszög B-csúcsnál levő szöge ennek a fele, vagyis 36/2=18°-os.

Ismerjük ennek a derékszögű háromszögnek egy hegyesszögét (most állapítottuk meg, hogy 18°-os), és a szöggel szemközti befogó hosszát (D↔E szakasz), ami 3 cm.

A másik befogó: tg(18°) = 3 / x → x = 3/ tg(18°) = 3/0,3249 ≈ 9,23 cm.

A B↔XY↔E háromszög területe 3*9,23/2 = 13,845 cm². A B↔D↔E háromszög 2 ilyen háromszögből áll,így területe 2*13,845=27,69 cm².

Ehhez hozzáadva a 36,3 cm²-et (lásd ◄③) 27,69+36,3 = 63,99 ≈ 64 cm².

E r e d m é n y :

Az ötszög területe 64 cm².

Szegény ötszög... :-)

Minden elismerésem az előző válaszolóé, de azt kell mondanom, hogy a mutatványának a számszerű végeredménye rossz!

Sokféleképpen meg lehet közelíteni az ötszög területének kiszámítását, itt most azt mutatom meg, hogy az átló ismeretében hogyan lehet gyorsan célba érni.

Legyen

d = 10 cm - az ötszög átlója

T = ?

Ábra

[link]

A két átló három részre osztja az ötszöget, a teljes terület

T = T1 + 2*T2

α = 36°

A trigonometrikus területképletet kell csak használni.

T1 = d²sinα/2

T2 = a*d*sinα/2

Egy összefüggést érdemes megjegyezni az ötszög kapcsán:

a = d*φ

ahol

φ = (√5 - 1)/2 - az aranymetszés aránya

Ezzel a két terület

T1 = d²sinα/2

T2 = d²*φ*sinα/2

A teljes terület

T = d²sinα/2 + 2*d²*φ*sinα/2

Kiemelve

T = (d²sinα/2)(1 + 2φ)

Mivel a fenti definícióból

2φ = √5 - 1

ezért

T = (d²sinα/2)(1 + √5 - 1)

T = (d²sinα/2)√5

az állandókat átcsoportosítva

T = d²(√5*sinα/2)

=============

A zárójelben levő összeg kerekítve

√5*sin36°/2 ≈ 0,6572...

így a teljes terület

T ≈ 65,72 cm²

==========

Megjegyzés:

Akinek problémája van az a = d*φ összefüggéssel, a középső háromszög alaphoz tartozó magasságát behúzva az

a = 2*d*sin18°

összefüggéssel kiszámíthatja.

Ha már itt tartunk: az ötszögben előforduló összes szög szögfüggvényeit ki lehet számolni annak ismeretében, hogy

sin18°= φ/2

Ezt az előző képletbe behelyettesítve adódik az

a = d*φ

összefüggés

DeeDee

**********