Elmagyaráznátok nekem ezt a matekpéldát?

A gondolkozásban és az ellenőrzésben talán segít:

[link]

Az alapján még nem is lehet bebizonyítani, az ábra az csak segítség.

Az pl. látszik belőle, hogy egy szabályos háromszög is ilyen tulajdonságú, és annál S és M egy pontba esnek, tehát tuti egy körön van BCMS. Aztán a túlsó véglet, a derékszögű háromszög (mondjuk C-nél van a derékszög), annál M=C, tehát megint csak 3 pont van.

Az izgalmas persze az általános eset,

Lehet, hogy nem a legszebb megoldás, de nézzük meg koordináta-geometriával. (Nekem az jobban fekszik, mint a geometria.)

Legyen a koordináta-rendszer olyan, hogy a B és C pontok itt vannak; B(-1; 0) és C(1; 0). Az A pont koordinátái A(x; y). Rajzold ezt fel. Szimmetriák miatt elég az A(x;y) pontok közül azt nézni, amikor 0 ≤ x < 1, ezeknél lesz hegyesszögű a háromszög.

Kis számolással kijön (írd fel b² és c² értékét), hogy az A pont egy olyan körön lehet, aminek középpontja az origó, sugara pedig √3. Ezt a levezetést bizonyára meg tudod csinálni, nem túl bonyolult. A lényeg a végeredmény, hogy

x² + y² = 3

A súlypont koordinátája S(x/3; y/3), ezt is vezesd le (szinte triviális). Ebből következik, hogy ennek is a mértani helye egy kör, aminek az origó a középpontja, sugara pedig √3/3, de ez sem ad még sokat a megoldáshoz, nem ez a kör lesz az, amit keresünk.

A keresett kör középpontja biztos, hogy az y tengelyen van valahol, ráadásul a negatív félegyenesen.

Legyen a kör középpontja az O(0; -c) pont, a kör sugara pedig r. (Bizonyára c és r is x-től és y-tól függ. Mindkettő pozitív.)

Mivel a B és C pontok rajta vannak a keresett körön, ezért c²+1=r²

Az S súlypont is rajta van, ezért (c+y/3)² + (x/3)² = r²

(c+y/3)² + (x/3)² = c²+1

c² + 2c·y/3 + y²/9 + x²/9 = c²+1

2c·y/3 + 3/9 = 1

c·y = 1

Nevezzük M₁-nek az A-ból induló magasságvonalnak és a keresett körnek a metszéspontját.

Az M₁ pont koordinátái M₁(x; m), ahol m>0 ismeretlen. Azt fogjuk majd belátni, hogy M₁ éppen az M magasságpont.

Mivel M₁ rajta van a körön:

(c+m)² + x² = r² = c² + 1

(c+m)² = c² + 1 - x²

Mivel c és m is pozitív, valamint 0≤x<1, további kikötések nélkül tudunk gyököt vonni:

m = √(c²-x²+1) - c

A CA oldal vektora (x-1; y).

A BM₁ egyenes vektora (x+1; m)

Ha M₁ éppen az M magasságpont, akkor BM₁ és CA merőleges kell legyen, ekkor a vektorok skalárszorzata nulla. Nézzük:

BM₁·CA = (x+1)·(x-1) + m·y

= x² - 1 + √((cy)² - x²y² + y²) - cy

= x² - 1 + √(1 - x²y² + y²) - 1

= x² - 2 + √(1 - x²(3-x²) + 3-x²)

= x² - 2 + √(x⁴ - 4x² + 4)

= x² - 2 + √(x² - 2)²

= 0

Tehát a B,C,S pontok által meghatározott körön lévő M₁ pont éppen az M magasságpont.