Konvergencia, sorok? Megoldaná valaki az egyik feladatot mintaként?

Mondjuk b)

Ránézésre a szabály: 1/2·del szorozzuk az eddigi utolsó tagot, úgy kapjuk a rákövetkezőt.

Jobban megnézve: Az első tagnál ez nem teljesül, hisz a második tag nem fele az elsőnek. A többi tagnál viszont igaz a szabály.

Ha minden tagnál lenne igaz, akkor lenne mértani sor (1/2 kvócienssel), de így nem az. Nem lehet ugyanis felírni zárt alakban az n-edik tagot úgy, hogy a_n = a₁·q^(n-1)

A sor összeg:

Ha az első tagot elhagynánk a sorból, akkor a maradék mértani sor lenni a₁=1/4 kezdő taggal és q=1/2 kvócienssel. Mivel |q| kisebb 1-nél, ezért a módosított sor konvergens:

lim S_n = a₁ / (1-q) = 1/4 / (1 - 1/2) = (1/4) / (1/2) = 1/2

n→∞

Az eredeti sor is konvergens, hisz egyetlen véges számban különbözik a módosítottól, ami konvergens. Az eredeti összegét megkapjuk, ha a módosított sor összegéhez hozzáadjuk az elhagyott első tagot: 1 + 1/2 = 1.5