Mértani sorozatokat tanulunk sin, cos tétellel egybe de még nem magyarázta el a tanár, hogy hogyan kell és így adott házit valaki?

Ha egy mértani sorozatot alkotnak, akkor a három oldal x; x*q; x*q^2, tegyük fel, hogy a legkisebb oldallal szemközti szög a 60°-os, ekkor felírjuk a koszinusztételt:

x^2=(x*q)^2+(x*q^2)^2-2*x*q*x*q^2*cos(60°)

x^2=x^2*q^2+x^2*q^4-2*x^2*q^3*cos(60°)

x^2-tel tudunk osztani:

1=q^2+q^4-q^3

0=q^4-q^3+q^2-1

A fenti egyenletet át tudjuk alakítani; ha az első két tagból kiemelünk q^3-ont, a másik két tagra alkalmazzuk a tanult azonosságot:

0=q^3*(q-1)+(q+1)*(q-1), akkor ki tudunk emelni a tagokból q-1-et:

0=(q-1)*(q^3+q+1)

Ennek az egyenletnek q=1 biztosan megoldása, a szorzat másik tagja alapján ezen kívül csak negatív megoldások jöhetnek szóba (ami minket nem érdekel), így csak q=1 esetén áll fenn ez az egész, ami azt jelenti, hogy a háromszög oldalai x;x;x, ami szabályos háromszöget ad eredménynek.

A másik két oldallal is meg kell ugyanezt csinálni.

Ha egy háromszögnek van 60 fokos szöge (gondoljuk végig), akkor az biztosan a második legnagyobb szöge lesz (vagy szabályos), úgyhogy nem kell minden oldalra felírni.

Egyébként ez egy emelt szintű érettségi feladat volt, szóval meg lehet találni valahol, de az előttem válaszoló levezetése máris jó.