Valaki le tudná nekem vezetni ezt a feladatot? A következő sorozatot vizsgáljuk meg a monotanitás és a korlátosság szempontjából. A: alsóindex (n) = 5: felsőindex (n+2) osztva n!

Magyarul az 5^((n+2)/n!) sorozat hol növő és hol csökkenő.

Felírjuk az első néhány tagot:

n=1: 5^((1+2)/1!)=5^3=125

n=2: 5^((2+2)/2!)=5^2=25

n=3: 5^((3+2)/3!)=5^(5/6)=~3,83

Ebből megsejtjük, hogy a sorozat szigorúan monoton csökkenő lesz; ha ez így van, akkor

5^((n+2)/n!)>5^((n+1+2)/(n+1)!)

Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

(n+2)/n!>(n+3)/(n+1)!

A faktoriális definíciója alapján, ha n!-sal szorzunk, akkor

n+2>(n+3)/(n+1)

Ezt már könnyedén meg tudjuk oldani; egyenletrendezés után

n^2+2n-1>0, ez tetszőleges pozitív n-re igaz, és ha ez igaz, akkor az ekvivalens átalakítások miatt az eredeti sejtésünk is igaz lesz, tehát az 5^((n+2)/n!) sorozat tetszőleges pozitív egész n-re szigorúan monoton növekvő lesz.