1. Béla Alapátfalváról Bélapatfalvára 40 km/h sebességgel utaszik, majd amikor odaér, rögtön visszafordul. Mekkora sebességgel jöjjön visszafelé, hogy az egész útra vonatkozó átlagsebessége 80 km/h legyen? Kérlek oldjátok meg!

1.

Ha az oda úton 40 km/óra volt a sebessége, akkor nem tud olyan sebességgel utazni visszafelé, hogy az oda-vissza úton az átlagsebessége 80 km/óra legyen.

Azért nem, mert ilyen elvárásnál a visszaútra 0 ideje jut.

s → az út hossza a két település között.

v1 → sebesség az oda úton

t1 → útidő az oda úton

v2 → sebesség a vissza úton

t2 → útidő a vissza úton

vá → átlagsebesség az oda + vissza úton

t1 = s / v1

t2 = s / v2

vá = (2*s) / (t1+t2) = s * (2 / (t1+t2))

A sebesség az idővel fordítottan arányos (ugyanannyi út megtételéhez, nagyobb sebesség estén, arányosan kevesebb idő kell.)

v1/v2 = t2/t1

t2 = t1 * (v1/v2)

Ha az oda irányú út sebességéhez képest 2-szeres az oda-vissza átlagsebesség (80/40=2), akkor 2*v1 = vá.

v1 = s/t1; a 2*v1 = 2 * (s/t1) = 2*s / t1

vá = (2*s) / (t1+t2) = 2*s / (t1+t2)

A 2*v1 = vá miatt

2*s / t1 = 2*s / (t1+t2)

Ez csak akkor lehetséges, ha t2=0.

És nincs olyan sebesség, amivel 0 idő alatt vissza lehetne jutni.

(Csak érdekességképpen kiszámolva néhány értéket:

- ha 120 km/órával megy vissza, akkor az oda-vissza út átlagsebessége 60 km/óra;

- ha 280 km/órával megy vissza, akkor az oda-vissza út átlagsebessége 70 km/óra;

- ha 600 km/órával megy vissza, akkor az oda-vissza út átlagsebessége 75 km/óra;

- ha 1250 km/órával megy vissza, akkor az oda-vissza út átlagsebessége 77,52 km/óra.)

2.

A partról nézve:

Ha fél órát eveztek a labda kiesése után, akkor a labda a folyó sebességével haladt, 2 km-t tett meg [0,5*4]. A csónak ezalatt 5 km-t tett meg [0,5*(4+6)]. Tehát, visszaforduláskor 3 km-re voltak a labdától [5-2].

(Ugyanerre jutunk, ha csak azt vesszük figyelembe, hogy a csónak a folyóhoz képest 6 km/órával halad, tehát fél óra alatt 3 km-rel tett meg többet, mint a folyó; illetve az azáltal sodort labda.)

A forduló után a labda, a parthoz képest, továbbra is 4 km/órás sebességgel sodródik.

A csónak, a parthoz képest, 6-4=2 km/órával haladt.

A szembe haladók sebessége összeadódik: 4+2=6 km/óra.

Ilyen sebességgel a 3 km megtételéhez 3/6=0,5 óra kell.

Eközben a 2 km/órával haladó csónak (mármint a forduló után, a labda felé haladva, a parthoz képest) 0,5*2=1 km-t tett meg.