Matek házi segítség? Kilencedik osztály

• Mindenhova „+” jelet írunk.

1+2+3+4+5+…+2008

Ez egy számtani sorozat. Az 1. tagja 1, a 2008. tagja 2008. A differencia: 1.

Ennek összege: (a1+an) * (n/2) = (1+2008) * (2008/2) = 2009 * 1004 = 2 017 036.

• Váltakozva írunk „+”- és „─” jelet, az első „+” jel volt.

1+2-3+4-5+6-7+8…-2007+2008

Két sorozatunk van.

① Az egyik „+” előjelű számokból áll. Az 1. tag a 2, az utolsó tag a 2008. A differencia 2.

Ez a sorozat ((2008-2)/2) + 1 = 1004 tagból áll.

Összege: (2+2008) * (1004/2) = 2010 * 502 = 1 009 020.

Ehhez jön még a kezdő 1-es: 1 009 020 + 1 = 1 009 021. (Eddig 1005 tag.)

② A másik sorozat (abszolút értéke) 3-mal kezdődik és 2007-ig tart. A differencia 2.

Ez a sorozat ((2007-3)/2) + 1 = 1003 tagból áll. (1005+1003=2008 tag.)

Összege: (3+2007) * (1003/2) = 2010 * 501,5 = 1 008 015.

Ez utóbbi sorozatban „─” előjelű számokat összegeztünk, tehát az összegük „─” előjelű.

A teljes sorozat összege: 1 009 021 - 1 008 015 = 1006.

• Váltakozva írunk „+”- és „─” jelet, az első „─” jel volt.

1-2+3-4+5-6+7-8…+2007-2008

Két sorozatunk van.

① Az egyik „+” előjelű számokból áll. Az 1. tag az 1, az utolsó tag a 2007. A differencia 2.

Ez a sorozat ((2007-1)/2) + 1 = 1004 tagból áll.

Összege: (1+2007) * (1004/2) = 2008 * 502 = 1 008 016.

② A másik sorozat (abszolút értéke) 2-vel kezdődik és 2008-ig tart. A differencia 2.

Ez a sorozat ((2008-2)/2) + 1 = 1004 tagból áll. (1004+1004=2008 tag.)

Összege: (2+2008) * (1004/2) = 2010 * 502 = 1 009 020.

Ez utóbbi sorozatban „─” előjelű számokat összegeztünk, tehát az összegük „─” előjelű.

A teljes sorozat összege: 1 008 016 - 1 009 020 = -1004.

• Váltakozva írunk kettő „+”- és egy „─” jelet. Az első és a második jel „+” volt.

1+2+3-4+5+6-7+8+9-10+11+12-13…

Három sorozatunk van.

① Az első sorozat: +2, +5, +8, +11… Első tagja 2, a differencia 3.

Az utolsó tag? Ezek a tagok, ha 1-gyel nagyobbak lennének, oszthatóak lennének 3-mal.

A 2800 nem osztható 3-mal (a számjegyeinek összege nem osztható 3-mal); a 2799 viszont igen. Ezek viszont 1-gyel kisebb számok, tehát az utolsó tag 2798.

Ez a sorozat ((2798-2)/3) + 1 = 933 tagból áll.

Összege: (2+2798) * (933/2) = 2800 * 466,5 = 1 306 200.

② A második sorozat: +3, +6, +9, +12… Első tagja 3, a differencia 3.

Az utolsó tag? Ezek a tagok oszthatók 3-mal.

A 2800 nem osztható 3-mal (a számjegyeinek összege nem osztható 3-mal); a 2799 viszont igen. Tehát az utolsó tag 2799.

Ez a sorozat ((2799-3)/3) + 1 = 933 tagból áll.

Összege: (3+2799) * (933/2) = 2802 * 466,5 = 1 307 133.

③ A 3. sorozat -4, -7, -10, -13… Első tagja (abszolút értéke) 4, a differencia 3.

Az utolsó tag? Ezek a tagok, ha 1-gyel kisebbek lennének, oszthatóak lennének 3-mal.

A 2800 nem osztható 3-mal (a számjegyeinek összege nem osztható 3-mal); a 2799 viszont igen. Ezek viszont 1-gyel nagyobb számok, tehát az utolsó tag 2800.

Ez a sorozat ((2800-4)/3) + 1 = 933 tagból áll.

Összege: (4+2800) * (933/2) = 2804 * 466,5 = 1 308 066.

A 3 sorozat tagjainak összege: 933*3 = 2799. Ugyanis, az 1. tag, az 1-es mindből kimaradt.

Az 1. és 2. sorozat „+” előjelű, az 1-es is; ezeket összeadjuk és kivonjuk a 3. sorozat öszegét, amely „─” előjelű tagokból áll.

A teljes sorozat összege: 1 + 1 306 200 + 1 307 133 – 1 308 066 = 1 305 268.