Valaki eltudná magyarázni a cantor féle metszettétel (egymásba skatulyázott zárt intervallumok metszete nem üres) bizonyítását?

Az a baj, hogy ahogy én tanultam, abban a felépítésben ez egy axióma volt.

Mik az axiómák az általad tanult felépítésben?

Márpedig nem úszod meg anélkül hogy elő ne szednéd hogy mi az axiómarendszer. Valószínűleg a Dedekind-féle folytonossági axiómát mondtátok ki "Ha A és B az egyenes két részhalmaza, melyek közül egyik sem üres, és az egyik halmaz tetszőleges két pontja sohasem választható el a másik osztályba tartozó ponttal, akkor van olyan pont az egyenesen, mely minden olyan pontpárt elválaszt, melyeknek elemei különböző osztályokhoz tartoznak."

Ebből következik egyenest az hogy monoton korlátos sorozatnak van supremum-ja és ha az van neki akkor az a határérték is

Hát írjuk fel a_1<=...a_n<b_n<=...b_1 így az a_n sorozat monoton és felülről korlátos, akkor hát van határértéke A. A b_n sorozat monoton és alulról korlátos, a határértéke B. Ugye a_n<=A<=B<=b_n (mi van ha A>B? találj ellentmondást nem nehéz) így aztán az [A,B] intervallum minden pontja (lehet hogy csak egy pont van ha A=B) benne van minden [a_n,b_n] intervallumban.

A kiválasztási axiómával bővített Zermelo-Fraenkel halmazelméletben a bizonyítás:

[link]

Huh? A négyes az rendben van? A teljes rendezettség az ide kevés lesz... nem jólrendezést akart mondani, akármiből is fotóztad?

Jólrendezett halmaznak nevezünk egy halmazt, ha adott rajta egy jólrendezés, ami olyan teljes rendezést jelent, melyre igaz, hogy alaphalmaza minden nemüres részhalmazának van a rendezés szerint legkisebb eleme.

Az hogy minden halmaz jólrendezhető az valóban ekvivalens a kiválasztási axiómával.