MATEK! Legyen egy négyzet négy sarka egy egy város. Melyik a legrövidebb út amivel össze lehet őket kötni? (Segítség : nem az átlók azok! )

at előzőhöz:

a 3 oldalnál rövidebb a két átló:

2*gyök(2) kb. 2,83, ami kisebb 3-nál

a két átlónál most nem tudok rövidebbet

sztem ebben a formában a feladat megoldása a két átló

nincs más feltétel, kikötés?

@Parafagólem

Igen, tudom. De a kérdező a kérdésben írta, hogy nem az átlók. Akkor pedig csak az oldalak maradnak.

(első)

Bocs, mégis megvan:

Legyenek a négyzet oldalai pl. 2 egység hosszúak.

Húzd be az egyik oldalfelező merőlegest.

Ezen a középponttól mindkét irányban távolodjunk ugyanannyit, jelöljük x-szel az oldaltól mért távolságot.

Ekkor középen egy 2(1-x) hosszú szakasz van, ennek végpontjait összekötjük a csúcsokkal.

Ezek hossza Pithagorasz-tétellel: gyök[1+x^2]

Most az összes hossz: 2(1-x)+4gyök(1+x^2)

Ha pl. x=0,5 értéket behelyettesíted, máris kb. 5,47-et kapsz, ami kisebb a három oldalnyi hossznál és az átlók hosszánál is, ami kb. 5,66.

A minimumhoz deriválni kell:

-2+4*2x/2gyök(1+x^2)=-2+4x/gyök(1+x^2)

ezt nullára megoldod... stb. kapjuk z x=1/gyök(3) értéket

ennél az értéknél kb. 5,464 az összes hossz, ez a legkisebb

(amúgy az oldalhossznak a (2+gyök(3))-szorosa a minimum)

nem mellesleg ekkor a csúcsokba futó szakaszok pontosan 30 fokos szöget zárnak be a négyzetoldallal és 120 fokot egymással