Számítsd ki integrálással a következő függvény Fourier-trafóját: f (x) =1, ha -T/2 < x < T/2, egyébként f (x) =0)! Mi történik, ha T→∞? (Diszkusszió)

Sokféleképpen definiálják a Fourier trafót: néhol 2πf, néhol ω, néhol jω a paraméter, aztán néhol az integrált szorozni kell 1/√(2π)-vel, néhol nem... nem tudom, ti hogy csináltátok. Én mondjuk így:

f(x) = 1, ha -T/2 < x < T/2, egyébként 0

F(ω) = ∫ f(x) e^(-i·ω·x) dx, az integrál -∞-től +∞-ig megy

behelyettesítve f(x)-et:

F(ω) = ∫ e^(-i·ω·x) dx, az integrál -T/2-től +T/2-ig megy

A primitív fv e^(-i·ω·x)/(-i·ω), ezért a határozott integrál:

F(ω) = (e^(-i·ω·T/2) - e^(i·ω·T/2))/(-i·ω)

= ( [cos(-ωT/2) + i·sin(-ωT/2)] - [cos(ωT/2) + i·sin(ωT/2)] ) / (-iω)

= ( [cos(ωT/2) - i·sin(ωT/2)] - [cos(ωT/2) + i·sin(ωT/2)] ) / (-iω)

= -2i·sin(ωT/2) / (-iω)

= 2·sin(ωT/2)/ω

Ennek határértéke ω=0-ban T

Ha T→∞, akkor ez a Dirac delta függvény lesz (ez az integrál a delta függvény egyik definíciója.)