Mikor nem lehet ismeretlennel beszorozni és mikor fordul meg a kacsa csőr egyenlőtlenségnél?

Mondjuk x az ismeretlen.

Ha ezzel akarsz beszorozni, először azt kell megnézni, hogy mi lenne akkor, ha x=0 lenne. Nullával ugyanis nem szabad szorozni, mert az mindkét oldalt nullává teszi. Tipikusan azért szorzol be, mert az egyik oldal osztva van x-szel, úgyhogy már úgyis tettél kikötést (ugye?), hogy x ≠ 0. Ez elegendő...

Aztán a "kacsacsőr" iránya attól függ, hogy amivel beszorzol, az pozitív vagy negatív. Ezért ketté válik a megoldás:

Egyik eset:

a) Fel kell tenni, hogy pozitív. Ebből lesz egy x>0 feltétel.

Ekkor beszorozhatsz x-szel, nem fordul meg a kacsacsőr. Megoldod az egyenlőtlenséget, kijön tipikusan egy tartomány, mondjuk az, hogy -3 < x < 15. Most alkalmazni kell a feltételt,. vagyis x nem lehetett negatív, ezért a megoldás leszűkül az 0 < x < 15 tartományra.

Másik eset:

b) Fel kell tenni, hogy negatív. Ebből lesz egy x<0 feltétel.

Ekkor is beszorozhatsz x-szel, de megfordul az irány! Utána megoldod, a végén megint le kell szűkíteni a tartományt olyanra, hogy csupa x<0 legyen benne. Ha mondjuk x<-8 jönne ki, akkor nem is kell szűkíteni, mindegyik jó.

Ha bármelyik esetnél ellentmondás lenne, mondjuk x<0 esetén csupa pozitív x jönne ki, akkor arra az esetre nincs megoldás.

A végén az a) és b) eset leszűkített megoldásait össze kell vonni, mert mindkét tartomány jó. Mondjuk az előző példánál maradva a végeredmény az, hogy x < -8 vagy 0 < x < 15.