Egyenlő szárú trapéz hegyesszögei 45 fokosak. Hosszabbik alapja 10 cm, magassága 2cm. Mekkora a rövidebbik alapja? Mekkora a területe? Mekkorák a kiegészítő háromszög oldalai? Határozd meg a trapéz és a kiegészítő háromszög területének arányát

Húzzuk be a trapéz két magasságvonalát, ekkor a trapézt feldaraboltuk 2 derékszögű háromszögre és egy téglalapra. Ugyanígy, a hosszabbik alapot is 3 részre osztottuk.

Tudjuk, hogy a derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 45°-os, a másik szögét abból tudjuk, hogy tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°, tehát 45°-os a másik is. Ez azt jelenti, hogy a levágott derékszögű háromszög egyben egyenlő szárú is; mivel a derékszögű háromszög egyik szára a trapéz magassága, másik szára a hosszabbik alap kis része, ezért a kis rész hossza is 2 centiméter hosszú. Ez mindkét háromszögre igaz, tehát a kis részek összhossza 2+2=4 centiméter. Ebből követezik, hogy az alap középső része 6 cm hosszú. Ez megegyezik a rövidebbik alap hosszával, tehát az is 6 cm hosszúságú.

Innen már minden adott, hogy kiszámoljuk a trapéz területét; (6+10)*2/2=16 cm^2.

Egészítsük ki a trapézt egy kis háromszöggel, ekkor egy nagy háromszöget kapunk. Két szöge 45°-os, ezért az előbbiekben tárgyaltak alapján a harmadik szöge 90°-os, tehát egy derékszögű háromszöget kaptunk, ami ráadásul egyenlő szárú is.

Erre a háromszögre fel tudjuk írni a Pitagorasz-tételt; ha a nagy háromszög oldalhossza x, akkor

x*x+x*x=10*10

2*x*x=100

x*x=50, ennek a megoldása x=gyök(50), ezt át tudjuk így alakítani: =gyök(25*2)=gyök(25)*gyök(2)=5*gyök(2) (a gyökvonás azonosságaiból használtunk itt 1-et).

Viszont nekünk a kis háromszög szárhossza a kérdés; ezt úgy kapjuk meg, hogy az előbb kiszámoltból kivonjuk a trapéz szárának hosszát. Ezt pedig egy újabb Pitagorasz-tétellel meg tudjuk állapítani; ha a szár hossza b, akkor

2*2+2*2=b*b

4+4=b*b

8=b*b

gyök(8)=b, ezt is át tudjuk írni: =gyök(4*2)=gyök(4)*gyök(2)=2*gyök(2)

Tehát a kisháromszög szárainak hossza 5*gyök(2)-2*gyök(2)=3*gyök(2)=gyök(9)*gyök(2)=gyök(18) cm hosszúságúak. Ezt igény szerint lehet kerekíteni: ~4,24264 cm.

A kiegészítő háromszög területe: gyök(18)*gyök(18)/2=18/2=9 cm^2, tehát a kisháromszög és a trapéz területének aránya 9:16.