Mi a teljes (matematikai) indukció 3 lépése?

Ez a három, amit leírtál.

Csak ügyesen kell csinálni ;)

Ilyesmi, de pontosítanék. Ezt írod:

> Tehát van olyan n szám, amelyre igaz az állítás.

Nem teljesen, határozottan azt kell állítani, hogy n=1-re igaz az állítás. Tetszőleges n nem az igazi.

Ha viszont mondjuk egy olyan tételre alkalmaznád, ami azt mondja ki, hogy minden legalább kétjegyű természetes számra igaz valami, akkor n=10-re kellene megnézni (ami a legkisebb szám abban a természetes szám tartományban, amire igazolni kell az állítást), hogy teljesül-e. Most (bár nem írtad oda) minden természetes számra mondták ki az állítást, ezért a legkisebb természetes számmal, 1-gyel kell kezdeni.

> Akkor most feltételezem, hogy n=k-ra is igaz, vagyis az n-eket lecserélem k-ra.

Igen, ez jó. Fel kell írni, hogy milyen egyenlet mutatja a feltételezést az általános esetre. (Ezt szokták indukciós feltételnek hívni.)

> Most jön az, hogy k+1-re igaz-e az állítás, vagy sem.

> 1+2+3+...+k+(k+1)=(k*(k+1))/2+(k+1)

Igen, de rosszul írtad fel a jobb oldalt. Most az n helyébe (k+1)-et kell írni, így:

1+2+3+...+k+(k+1) ≟ (k+1)·(k+2)/2

(Az egyenlőségjel helyett ≟-et írtam (kérdőjel az egyenlő tetején), hogy látszódjon, hogy ezt még nem tudjuk, ezt kellene belátnunk.)

Most jön az, hogy a bal oldal az indukciós feltétel szerint írható máshogy is:

k(k+1)/2 + k+1 ≟ (k+1)·(k+2)/2

k(k+1) + 2k+2 ≟ (k+1)·(k+2)

k² +k + 2k + 2 ≟ k² + 2k + k + 2

k² + 3k + 2 ≡ k² + 3k + 2

> És ezzel be is van bizonyítva az állítás k+1-re is?

Nem csak arra:

"És ezzel be is van bizonyítva az állítás az összes természetes számra."

Ugyanis 1-től indulva az összes természetes szám előáll akkor, ha egymás után 1-eket adok az 1-hez.

> Szóval ha bármilyen állítást akarok bizonyítani k+1-re,

> akkor az egyenlet bal oldalához hozzá adom a k+1-et,

> a jobb oldalon meg a k-t (n-et)átírom k+1-re?

Nem igazán. Gyakorlatilag a bal oldalon is az n-t át kell írni (k+1)-re, meg a jobbon is, Vagyis nem az indukciós feltételben kell a k-t átírni k+1-re, hanem az eredetiben az n-et.

Pl. nézzük ezt a tételt: Az első n darab pozitív páratlan szám összege n².

Kifejtve: 1+3+5+...+(2n-1) = n²

Megnézzük n=1-re:

1 ≟ 1² teljesül, tehát n=1-re igaz az állítás.

Indukciós feltevés: n=k-ra igaz az állítás, vagyis:

1+3+5+...+(2k-1) = k²

Megnézzük n = (k+1)-re:

1+3+5+...+(2(k+1)-1) ≟ (k+1)²

1+3+5+...+ (2k-1) + (2k+1) ≟ (k+1)²

Az indukciós feltevés miatt a bal oldalon össze tudunk vonni:

k² + (2k+1) ≟ (k+1)²

k² + 2k + 1 ≡ k² + 2k + 1 azonosság jött ki.

Vagyis k-ról k+1-re a tétel igazát beláttuk.

Ezért minden n természetes számra igaz a tétel.

> A másik kérdés az az, hogy nekem is az a végeredmény jött ki, ami neked. De attól még nem jó a jobboldal úgy, ahogyan felírtam?

Nem jó. Az indukciós feltevés mindkét oldalához hozzáadtál k+1-et, persze, hogy ugyanaz lett.

Én is az Obádovicsból tanultam önszorgalomból :)\