Szorozzunk össze (képzeletben) az összes elképzelhető módon egy 12-edik és egy 15-ödik egységgyököt. Hogyan igazolható, hogy így éppen a 60-adik egységgyököket fogjuk megkapni, méghozzá mindegyiket ugyanannyiszor?

Tanultátok az Euler alakot?

e^(k·2π/12·i) · e^(n·2π/15·i)

k = 0..11

n = 0..14

A közös nevező a 60:

= e^([5k+4n]·2π/60·i)

Ezek tényleg a 60-adik egységgyökök.

5k+4n = 0 .. 111

Ha elmegyünk k-val 0-tól 11-ig, de n csak 0-tól 4-ig megy mindegyik k-nál, akkor 5k+4n modulo 60 felvesz minden értéket 0-tól 59-ig pontosan egyszer.

Azért, mert

0·4 mod 5 = 0

1·4 mod 5 = 4

2·4 mod 5 = 3

3·4 mod 5 = 2

4·4 mod 5 = 1

és ezeket hozzáadva 5k-hoz mindig más 5-tel való maradékot kapunk (ami 60-nal való maradékban is más természetesen).

Ha n=5..9, akkor 20-szal nagyobb értékeket vesz fel 5k+4n, de modulo 60 azok is ugyancsak a 0..59 számokat adják pontosan egyszer.

Ugyanígy n=10..14-re is.

Vagyis minden egységgyököt 3-szor kapunk meg.