Matekházi! Amit a hegyes szögek szögfüggvényeivel kell megoldani (szinusz, koszinusz, tangens, kotangens! NEM PITEGORASSZAL). Tudnátok segíteni?

Nem tudtam eldönteni, miért nem jött eddig egyetlen válasz sem erre a szép feladatra...

Nem részletezem a találgatásaimat, inkább leírom, milyen megoldást tudok elképzelni.

Legyen

a = 300 - a háromszög alapja

b - a háromszög szára

m - az alaphoz tartozó magasság

Feltétel:

a szár és az alaphoz tartozó magasság különbsége

b - m = k = 36

b = ?

α - a szárszög

vagy

ß - az alapon fekvő szög = ?

T - a háromszög területe = ?

Annyi a teendő, hogy az ismert adatokkal kell kifejezni a feltételben megadott egyenlet ismeretlen adatait.

A szögek közül elegendő egyet meghatározni, a többi már ebből adódik.

A két szög közül az alapon fekvő szöget választottam, ezzel a keresett adatok:

b = a/2*cosß

m = a*tgß/2

Ezeket behelyettesítve a b - m = k egyenletbe

a/2*cosß - a*tgß/2 = k

a/2-t kiemelve

k = (a/2)(1/cosß - tgß)

tg = sinß/cosß

k = (a/2)(1/cosß - sinß/cosß)

A zárójelben összevonva

k = (a/2)[(1- sinß)/cosß]

Mindkét oldalt osztva (a/2)-vel

2k/a = (1 - sinß)/cosß

A bal oldalt egy konstansba összefogva

2k/a = q

q = (1 - sinß)/cosß

Jön egy kis fazonírozás.

Mindkét oldalt négyzetre emelve:

q² = (1 - sinß)²/cos²ß

mivel

cos²ß = 1 - sin²ß

ezért

q² = (1 - sinß)²/(1 - sin²ß)

A nevező egy nevezetes szorzat

q² = (1 - sinß)²/[(1 - sinß)(1 + sinß)]

Mivel sinß nem lehet 1, ezért lehet egyszerűsíteni (1 - sinß)-val, így marad

q² = (1 - sinß)/(1 + sinß)

Ezzel kaptunk egy olyan összefüggést, melyben csak a szög ismeretlen; ezt kifejezve belőle

sinß = (1 - q²)/(1 + q²)

================

Ezzel tulajdonképpen meg is oldottuk a feladatot, mert a szöget visszakeresve a két keresett adat és a terület

b = a/2*cosß

m = a*tgß/2

T = a*m/2

már egyszerűen számítható.

A két összefüggésben cosß és tgß szerepel, és ha valaki veszi a fáradságot és a sinß ismeretében kifejezi ezt a két szögfüggvény értéket, a következőt kaphatja:

cosß = 2q/(1 + q²)

tgß = (1 - q²)/2q

Ezekkel a két keresett adatra két szép szimmetrikus összefüggés adódik:

b = a(1+ q²)/4q

és

m = a(1 - q²)/4q

és a terület

T =a²(1 - q²)/8q

Ha valaki titokban mégis a büntibe küldött Pitagorász mesterhez fordul, a következőt teheti:

A két kiinduló összefüggés

b - m = k

b² - m² = a²/4

A második egyenlet bal oldala egy nevezetes szorzat

(b - m)(b + m) = a²/4

Az első egyenlet maradt

b - m = k

Mivel (b - m) nem nulla, ezért a két egyenletet elosztva egymással marad

b + m = a²/4k

Az első kiinduló egyenlettel együtt van egy új egyenletrendszer

b + m = a²/4k

b - m = k

A két egyenletet összeadva számítható a 'b', az elsőből kivonva a másodikat pedig megkapható az 'm' értéke.

2b = a²/4k + k

ill.

2m = a²/4k - k

Itt is bevezetve a q = 2k/a konstanst, ugyanaz a forma adódik, mint a szögfüggvényekkel végzett levezetésnél.

DeeDee

**********