Nyolc szabályos dobókockából építettünk egy 2×2×2-es kockát. A felületén látható 24 dobókockalapon lévő pöttyök számait (összesen 24 számot) összeszoroztuk. Folytatas?

Érdemes megnézni a 3-hatványok végződését:

3^1=3, 3-ra végződik

3^2=9, 9-re végződik

3^3=27, 7-re végződik

3^4=81, 1-re végződik

3^5=243, 3-ra végződik

Nem nehéz észrevenni, hogy ezek a végződések periodikusan váltogatni fogják egymást. Ezzel a következőket mondhatjuk el; ha a kitevő:

-4-gyel osztható, akkor a végződés 1 lesz.

-4-gyel osztva 1 maradékot ad, akkor a végződés 3 lesz.

-4-gyel osztva 2 maradékot ad, akkor a végződés 9 lesz.

-4-gyel osztva 3 maradékot ad, a végződés 7 lesz.

Ennek tudatában csak azt kell vizsgálnunk, hogy a végződésekből hogyan lehet 2-est kikerekíteni.

-Ha 1-re végződik, akkor elég egy 2-es, a többi helyére 1-est írunk (1*2=2).

-Ha 3-ra végződik, akkor elég egy 4-es, a többire ugyanúgy 1-es kerül (3*4=12, ez 2-re fog végződni).

-Ha 7-re végződik, akkor 1 6-os elég, a többi 1-es (7*6=42).

-Ha 9-re végződik, akkor már két páros számra van szükségünk, mivel 1-ből nem tudjuk kigazdálkodni a 2-es végződést; 1 4-es és egy 2-esre van szükségünk (9*4*2=72)

Értelemszerűen bármelyiknél kijöhet ez az állás, HA van elég hely. Érdemes hátulról előre haladni:

-24 darab 3-as (a fentiek miatt) 1-re fog végződni, ehhez kellene még 1 2-es, de nincs hely ->24 darab 3-as nem lehet.

-23 darab 3-as 7-re végződik, ehhez kell még 1 6-os, hogy 2-re végződjön, és ezt be is tudjuk rakni; tehát, ha 23 darab 3-as és 1 6-os van, akkor a szorzat 2-re fog végződni (564.859.072.962).

-22 darab 3-as 9-re végződik, ehhez kell egy 4-es és 1 2-es, aminek még van hely, így 22 darab 3-as, 1 2-es és 1 4-es szorzata 2-re fog végződni (251.048.476.872).

A többi esetre nem nehéz kitalálni, hogy összejöhet. Tehát csak 24 darab 3-as nem lehet, 1-23 darabig pedig bármi.

Az, hogy a szembe lévő számok összege 7, azt jelenti, hogy az alábbi párokból mindig egy-egy szám látszik:

1-6, 2-5, 3-4

Mivel a szorzat 2-re végződik, ezért nem lehet benne egyetlen 5-ös sem. (Hiszen akkor 0-ra vagy 5-re végződne.)

Tehát biztos, hogy 2^8 szerepel benne.

Ha van 8db 3-as, akkor 0db 4-es van.

3^8*2^8=1679616

Ha ezt csak 1-es és 6-osokkal szorozzuk, akkor nem lehet 2-es a vége, mindig 6 marad.

Ha van 7db 3-as és 1db 4-es:

3^7*4*2^8= 2239488

Ha ezt szorozgatjuk 1-el és 6-al mindig 8-as marad az utolsó számjegy.

Ha van 6db 3-as:

3^6*4^2*2^8 = 2985984

Ha ezt szorozgatjuk, akkor mindig 4-es marad a vége.

3^5*4^3*2^8=3981312

Ennek mindig 2 lesz a vége.

Vagyis maximum 5 hármas lehet látható.

Igen, ez igaz... Valahogy csak a lapokra koncentráltam, arra nem is gondoltam, hogy 1 kockán csak 1 3-as van :D

Igen, akkor így érdekesebbé válik a kérdés.

Ebben az esetben úgy kell végiggondolni, hogy 1 kockán milyen pontokat láthatunk összerakás után; azt nem nehéz kitalálni, hogy mindegyik kockának pontosan 3 oldalát látjuk, és ezeknek közös az egyik csúcsuk 3 old. Mivel megadták, hogy a szemközti oldalakon található pontok összege 7, és egyszerre csak az egyik oldalát látjuk az ilyen párosoknak, ezért leírhatjuk az összes olyan számhármast, amelyben a tagok 1-6 között vannak, és bármelyik kettő összege 7-től különböző:

1-2-3

1-2-4

1-3-5

1-4-5

2-3-6

2-4-6

3-5-6

4-5-6

Mivel egy kockának 8 csúcsa van, ezért ennél több számhármas nincs (kombinatorikával: 6*4*2/3!=8, ezzel is ennyi jön ki).

Ezekből kell 8-at kiválasztanunk (többet is felhasználhatunk), hogy a szorzatuk 2-re végződjön.

Könnyen kitalálható, hogy ha 5-ös van a szorzandók között, akkor a szorzat 0-ra vagy 5-re fog végződni, tehát amiben 5-ös van, azokat ki kell rostálnunk:

1-2-3

1-2-4

2-3-6

2-4-6

Sikeresen megfeleztük a válogatható számhármasok számát. Most nézzük ezen számhármasok szorzatait:

6

8

36

48

Ezekből kell nekünk 8-at kiválasztani, hogy a szorzatuk 2-re végződjön. Érdemes az alapján számolni, hogy hány 3-ast látunk. Azt is tudnunk kell, hogy a végződés csak a számok végződésétől függ, tehát, ha egy szám 6-ra, egy másik pedig 8-ra végződik, akkor ezek szorzatára: 6*8=48, vagyis 8-ra fog végződni.

1. lehetőség: 0 darab 3-as van, 1 olyan számhármas van, amelyben nincs 3-as, ez pedig a 2-4-6, ezek szorzata 48, ebből van nekünk 8, tehát ezek szorzata 48*48*48*48*48*48*48*48. Vizsgáljuk meg ezeknek a szorzatoknak a végződését az előző hozzászólásom, valamint az előbb említett alapján:

48, ez 8-ra végződik

48*48, ennek végződése megegyezik 8*8=64 végződésével, ez pedig a 4

48*48*48, ennek a végződése megegyezik 4*8=32 végződésével, ez a 2.

48*48*48*48, ennek a végződése megegyezik 2*8=16 végződésével, ez itt a 6.

48*48*48*48*48, ennek a végződése megegyezik 6*8=48 végződésével, ennél a 8 lesz

Ha tovább folytatjuk, akkor újra visszakapjuk a 8,4,2,6 számsorozatot. Eszerint a 8 darab 48 szorzata 6-ra fog végződni. Ehhez viszont már nem tudunk számhármast választani, tehát 0 darab 3-as nem lehet.

2. lehetőség: 1 darab 3-asunk van, ekkor 7 nem hármasunk, ezek szorzata 2-re fog végződni (ez azért lesz így, mert így 8 helyett 7 darab 8-ra végződő számot szoroztunk össze, és a fenti megállapítás alapján 6 "előtt" 2 van a sorban). Ehhez a 2-es végződéshez kell nekünk egy számot választani a fenti 4 közül, hogy reményeink szerint a szorzat úgy 2-re végződjön, ehhez viszont a 6 (vagyis az 1-2-3 számhármas) jó nekünk. Tehát 1 3-as lehet.

3. lehetőség: 2 darab 3-as van, ekkor 6 kockán nincs, most a 2-es előtti kell, ez pedig a 4-es. Ehhez 2 számhármast kell választanunk, amelyekben van 3-as, hogy a szorzat 2-re végződjön. Ezzel a szorzat vagy 4*6*6, vagy 4*6*8, vagy 4*8*8 végződésére fog végződni, vagyis vagy 4-re, vagy 2-re, vagy 6-ra fog végződni. 2-es végződést találtunk, tehát 2 lehet.

4. lehetőség: 3 darab 3-as van, ekkor 7 kockán nincs, a 4-es végződés pedig 8-ra fog váltani. Ehhez kell nekünk a fentiek közül 3 szám, ezekhez az alábbiakat tudjuk választani:

4*6*6*6

4*6*6*8

4*6*8*8

4*8*8*8

Ebből a 4*6*6*8 2-re fog végződni, ebből kifolyólag 3 darab 3-as is lehet.

5. lehetőség: 4 3-as, és 4 nem, így a szorzat 6-ra fog végződni. Ehhez a végződéshez kell nekünk még 4 szám a fentiekből:

6*6*6*6*6

6*6*6*6*8

6*6*6*8*8

6*6*8*8*8

6*8*8*8*8

Ebből a 6*6*8*8*8 2-re fog végződni.

6. lehetőség: 5 3-as, így 3-on nincs, ezek szorzata 2-re végződik, így a lehetséges szorzatok:

2*6*6*6*6*6

2*6*6*6*6*8

2*6*6*6*8*8

2*6*6*8*8*8

2*6*8*8*8*8

2*8*8*8*8*8

Az első lehetőség máris 2-es végződést ad. Így 5 3-asunk is lehet.

7. lehetőség: 6 3-as, 2-n nincs hármas, ezek szorzata már csak 48*48, ez 4-re végződik. Lehetséges szorzatok:

4*6*6*6*6*6*6

4*6*6*6*6*6*8

4*6*6*6*6*8*8

4*6*6*6*8*8*8

4*6*6*8*8*8*8

4*6*8*8*8*8*8

4*8*8*8*8*8*8

A második rögtön jó lehetőséget ad nekünk.

8. lehetőség: 7 3-as, és 1 olyan, amelyiken nincs 3-as, ezen a számok szorzata 48, ami 8-ra végződik. Erre a lehetséges szorzatok:

8*6*6*6*6*6*6*6

8*6*6*6*6*6*6*8

8*6*6*6*6*6*8*8

8*6*6*6*6*8*8*8

8*6*6*6*8*8*8*8

8*6*6*8*8*8*8*8

8*6*8*8*8*8*8*8

8*8*8*8*8*8*8*8

Ebből a 3. szorzat fog 2-re végződni, tehát az egész szorzat végződése is 2 lesz.

9., egyben utolsó lehetőség: mindegyiken van 3-as, erre pedig nagyon könnyű jót találni; ha mindegyik kockán a szorzat 6-ra végződik (például ha mind 1-2-3), akkor a szorzat is 2-re fog végződni.

Lehet, hogy egy kicsit (vagy inkább nagyon) kuszára sikerült a válaszom, de ha valamit nem értesz, akkor kérdezz bátran! Remélem így már nem értettem félre semmit :)

A 9. esetben hülyeséget írtam, de arra is van megoldás:

6*6*6*6*6*8*8*8.

Ha mindegyiken van 3-as, akkor a

"6*6*6*6*6*8*8*8."

nem jó, mert a 8-as szorzatban nincs 3-as ;-)