Hogyan kell ezt a két matekfeladatot megoldani?

1)

Legyen x = 2013

Az osztó:

x² + x+1

Az osztandóból ki tudunk emelni x-et:

x·(x^x - 1)

Az x^x nem érdekes, hogy x-edik hatvány. Jobb is x^n-nek írni, ne vigyen félre, hogy x van a kitevőben.

Tudjuk, hogy x^n - 1 = (x-1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x² + x + 1)

Vegyük észre, hogy x-1 egy n tagú kifejezéssel van szorozva, amiben x minden hatványa szerepel a 0-adik hatványtól kezdve.

Azt keressük, hogy ez az n tagú kifejezés osztható-e x²+x+1-gyel.

Érdekes, hogy x³-1 = (x-1)(x² + x + 1). Az természetesen osztható.

Ha a rákövetkező hatványokba belegondolunk, a 6-odik lesz először fontos:

x⁶-1 = (x-1)(x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1)

= (x-1)[x³·(x²+x+1) + x²+x+1]

= (x-1)(x²+x+1)(x³+1)

Ennek is osztója az x²+x+1.

Már érezhető, hogy lesz még több ilyen is: ha n=3k, akkor hármas csoportokba tudjuk osztani az x hatványokat, és mindegyikből kiemelhető az x²+x+1. Mondjuk n=30 esetén:

x^39 - 1 = (x-1)(x^29 + x^28 + x^27 + ... + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1)

= (x-1)(x²+x+1)(x^27 + x^24 + x^21 + ... + x³ + 1)

A 2013 is osztható 3-mal, tehát x^2013 - 1 is osztható x²+x+1-gyel.

2)

Teljes indukciós bizonyítás:

n=0 esetén: 9^n - 8n - 1 = 0, ennek osztója a 64.

Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül, vagyis 64 | 9^k - 8k - 1

n=k+1-re:

9^(k+1) - 8(k+1) - 1 = 9·9^k - 8k - 8 - 1 = 9·9^k - (9·8k - 8·8k) - 9

= 9·(9^k -8k - 1) + 64k

A zárójeles tényező osztható 64-gyel az indukciós feltevés miatt, a 64k szintén, tehát a kifejezésnek n=k+1 esetén is osztója a 64.

Ezért minden n-re teljesül a feltevés.