Az ABCD négyszög AB oldalán P, BC oldalán, Q, CD oldalán az R, DA oldalán az S olyan pontok, amelyekre AB/PB=BQ/QC=CR/RD=DS/SA=k . Határozzuk meg a k értékét, ha tudjuk, hogy a PQRS négyszög területe 52%-a az ABCD négyszög területének?

"AB/PB=BQ/QC"

Ugye a legelső el van írva? Nem AP van ott?

Na, most akkor mi a feladat?

[link]

Ez? Vagy nem ez?

Az itt következő megoldás egyetlen szépséghibája, hogy nem tudom bizonyítani a korrektségét.

Igazából Száldobányi mester nagyszerű dinamikus ábrája adta az ötletet: látszik, hogy lényegtelen a kiinduló négyszög alakja, a területek aránya csak az oldalrészek arányától függ! Ha ezt elfogadom, akkor a legegyszerűbb négyszög - a NÉGYZET - esetére is érvényesnek kell lennie.

Négyzet esetén viszont aránylag egyszerű a megoldás.

A kiindulás legyen egy ABCD négyzet, melynek oldalhossza 'a', a P pont által felosztott oldal AP szakasza x, a PB szakasz meg y.

Célszerű egy ábrát készíteni, de talán anélkül is érthető.

A két szakasz hányadosa a keresett

k = x/y

érték.

A megoldás stratégiája

Kiszámolni a szakaszok hosszát a négyzet oldalának függvényében, ezután felírni a belső négyszög területét.

Jönnek a taktikai elemek.

A szakaszokról (x és y) a következőket tudjuk

x + y = a

x/y = k

Ezekkel a szakaszok hossza

x = a*k/(k + 1)

y = a/(k + 1)

Jöhet a terület

Legyen a belső négyszög területe Tb

Ezt úgy kapjuk, ha a négyzet területéből levonjuk a négy kis háromszög területét, vagyis

Tb = a² - 4*xy/2

Tb = a² - 2xy

Az y és y fenti értékét behelyettesítve kiemelés, összevonás után kapjuk, hogy

Tb = a²(k² + 1)/(k + 1)²

Mindkét oldalt a²-tel osztva lesz

Tb/a² = (k² + 1)/(k + 1)²

A bal oldal nem más, mint a megadott területarány (q), tehát

q = (k² + 1)/(k + 1)²

Ebből is látszik, hogy a területarány csak az oldalrészek arányától függ.

A törtet eltüntetve

q*(k + 1)² = k² + 1

A műveletek elvégzése után, nullára rendezve

0 = k² - k*2q(1 - q) + 1

Ez a másodfokú egyenlet nem okozhat gondot.

A részleteket mellőzve a gyökök

k1,2 = [q ± √(2q - 1)]/(q - 1)

A két gyök

k1 = 1,5 = 3/2

k2 = 1/1,5 = 2/3

============

Megjegyzés

- A dinamikus ábrán feltüntetett k= 2/5 érték szerintem hibás, mert a kisebbik rész és a teljes oldal arányát jelöli, a feladatban pedig az oldalrészek aránya szerepel. Szerintem elírásról van szó.

- Nincs ötletem, hogyan lehetne az általános esetből kiindulva bizonyítani a megoldást, ha valaki segíteni tudna, megköszönném.

DeeDee

***********

"k= 2/5 érték szerintem hibás"

Jogos az észrevétel - köszönöm.

Az egyszeri vasúti kalauz rossz helyen lyukasztotta a jegyet, javításként mellé írta: "Ez a lyuk nem lyuk."

Az a hányados valóban nem k, lambdára javítottam.