Teljes indukcióban segítenél?

1. lépés megnézzük n=0-ra.

3*5^(2*0+1)+2^(3*0+1) = 3*5^1 + 2^1 = 15+2=17

Ekkor tehát igaz.

2. lépés:

Feltesszük, hogy n=k-ra igaz, vagyis

17| 3*5^(2k+1) + 2^(3k+1)

Ez az indukciós feltevés.

3. lépés megmutatjuk, hogy n=k+1-re is igaz ekkor.

Vagyis azt kell megmutatni, hogy

17| 3*5^(2(k+1)+1) + 2^(3(k+1)+1)

Kezdjük el alakítani

2(k+1)+1 = 2k+1 +2

3(k+1)+1 = 3k+1 +3

Azért így írom át, mert az indukciós feltevésben szerepel a (2k+1), így azt akarom, hogy az itt is megjelenjen. A másik sorban a 3k+1 ugyanezért.

17| 3*5^(2k+1 +2) + 2^(3k+1 +3)

5^(2k+1 +2) = 5^(2k+1)*5^2 = 25*5^(2k+1)

2^(3k+1 +3) = 2^(3k+1)*2^3 = 8*2^(3k+1)

17| 3*25*5^(2k+1) + 8*2^(3k+1)

Próbáljuk meg kihasználni az indukciós feltevést.

Tudjuk, hogy

17| 3*5^(2k+1) + 2^(3k+1)

ekkor persze az is igaz, hogy

17| 8* [ 3*5^(2k+1) + 2^(3k+1) ]

17| 24*5^(2k+1) + 8*2^(3k+1)

Ebben 24-szer szerepel az első tag. Nekünk pedig 75-ször. 75=24+51

Vagyis ez

17| 3*25*5^(2k+1) + 8*2^(3k+1)

így írható:

17| 8*[3*5^(2k+1) + 2^(3k+1)] +51 * 5^(2k+1)

A szögletes zárójel az indukciós feltevés miatt osztható 17-el.

A 17|51 miatt a második tag is osztható 17-el.

Ezzel bizonyítottuk az állítást.

Igazából nincs.

Azt írta, hogy bármely természetes számra. Nálam a legkisebb természetes szám a 0.

Ha az a feltétel, hogy mutassuk meg teljes indukcióval, hogy minden 4-nél nagyobb természetes számra igaz, akkor 1. lépésben n=5-re kell felírni.

Mindig a feladat szövege alapján kell eldönteni, hogy melyik az első tag, amire felírjuk. De nincs nagy jelentősége, hogy 0-tól, 1-től vagy 2-től kezdjük-e.