Hogyan kell ezt a koszinuszos egyenletet megoldani?

(cosx)^2 + (cos2x)^2 = (cos3x)^2

(cos2x)^2 = (cos3x)^2 - (cosx)^2

jobb oldal a^2-b^2 alakú ezért felírható (a-b)*(a+b) alakban

(cosx)^2 = (cos3x-cosx)*(cos3x+cosx)

A zárójeles tagokat írjuk át:

[link]

cos3x-cos x = -2 * sin (2x) *sin (1x)

cos3x+cos x = 2 * cos (2x) *cos (1x)

(cos2x)^2 = -2 * sin (2x) *sin (x)*2 * cos (2x) *cos (x)

2*sin(x)*cos(x)=sin 2x

Ezért

(cos2x)^2 = -2 sin 2x *sin2x*cos2x

Most lehetne osztani cos 2x-el, de előfordulhat, hogy 0, ezért én inkább nem osztanék vele, hanem átvinnék mindent a bal oldalra és kiemelnék.

(cos2x)^2 + 2 sin 2x *sin2x*cos2x =0

cos2x * [cos 2x + 2*(sin 2x)^2]=0

A szorzat akkor 0, ha valamelyik tagja 0.

I) cos 2x=0

2x=pi/2+k*pi

x=pi/4+k*pi/2

Visszahelyettesítéssel látható, hogy ezek tényleg jó megoldások.

II) cos 2x + 2*(sin 2x)^2 = 0

sin (2x)^2 = 1-cos(2x)^2

cos 2x + 2 - 2 *cos(2x)^2 = 0

ez cos 2x-ben másodfokú.

Legyen cos 2x=a.

a + 2 -2a^2 = 0

0 = 2a^2-a-2

a = [1+-gyök(17)] /4

a1 = 1,28 nem megoldás, mert cos 2x<=1.

a2 = -0,78 lehetséges megoldás.

cos 2x = -0,78

2x = +-2,46 + 2*k*pi

x = +-1,23 + k*pi

Ezek szintén jó megoldások.

Összefoglalva az egyenlet megoldásai:

x=pi/4+k*pi/2

x = 1,23 + k*pi

x = -1,23 + k*pi

Aranyos kis feladat...